Integrar as seguintes equações diferenciais:
\left(\frac{y}{x}+\ln y\right) d x+\left(\frac{x}{2 y}+1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(\frac{y}{x}+\ln y\right)\,dx+\left(\frac{x}{2y}+1\right)\,dy=0
O que se pede: integrar a equação — ou seja, encontrar a solução geral implícita y(x) na forma de uma constante de primitiva.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Defino M(x,y)=\dfrac{y}{x}+\ln y como o coeficiente de dx.
  • Defino N(x,y)=\dfrac{x}{2y}+1 como o coeficiente de dy.
  • A equação pode ser escrita como M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

Verificação de exatidão (conceito importante): uma equação diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existir uma função \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x=M e \partial \Phi/\partial y=N. Uma condição prática é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais para ver se já é exata:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}+\ln y\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{2y}+1\right)=\frac{1}{2y}.
Como
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\neq\frac{1}{2y},
a equação original não é exata. Então precisamos buscar um fator integrante (integrating factor).

Passo 3

Estratégia de solução (fator integrante do tipo potência): uma técnica prática é procurar um fator integrante do tipo
\mu(x,y)=x^{m}y^{n},
com m,n constantes. Se encontrarmos tal \mu, multiplicando a equação por \mu devemos obter uma equação exata. Vou montar a condição de exatidão após multiplicar por \mu.
Multiplicando M e N por \mu:
\mu M = x^{m}y^{n}\!\left(\frac{y}{x}+\ln y\right)=x^{m-1}y^{n+1}+x^{m}y^{n}\ln y,
\mu N = x^{m}y^{n}\!\left(\frac{x}{2y}+1\right)=\frac{1}{2}x^{m+1}y^{n-1}+x^{m}y^{n}.
Calculo as derivadas parciais necessárias para a condição de exatidão \partial(\mu M)/\partial y=\partial(\mu N)/\partial x.
Primeiro:
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=x^{m-1}(n+1)y^{n}+x^{m}y^{n-1}\big(n\ln y+1\big).
Segundo:
\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)=\frac{1}{2}(m+1)x^{m}y^{n-1}+m x^{m-1}y^{n}.
Igualando \partial(\mu M)/\partial y=\partial(\mu N)/\partial x e agrupando os termos por potências de x e y obtemos duas igualdades de coeficientes:
  1. Coeficiente de x^{m-1}y^{n}:
n+1 = m.
  1. Coeficiente de x^{m}y^{n-1}:
n\ln y + 1 = \frac{1}{2}(m+1).
A segunda igualdade tem um termo n\ln y dependente de y. Para que essa igualdade seja válida para todos y é necessário que o coeficiente de \ln y seja zero, ou seja n=0. Substituindo n=0 na primeira igualdade vem m=1. Verifico a segunda com n=0,m=1:
0\cdot\ln y + 1 = 1,\qquad \frac{1}{2}(1+1)=1,
portanto consistente. Conclusão: um fator integrante que funciona é
\mu(x,y)=x^{1}y^{0}=x.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu=x. A equação transformada é
x\!\left(\frac{y}{x}+\ln y\right)dx+x\!\left(\frac{x}{2y}+1\right)dy=0.
Simplificando:
\bigl(y+x\ln y\bigr)\,dx+\left(\frac{x^{2}}{2y}+x\right)\,dy=0.
Defino os novos coeficientes
\widetilde{M}(x,y)=y+x\ln y,\qquad \widetilde{N}(x,y)=\frac{x^{2}}{2y}+x.
Verifico exatidão:
\frac{\partial\widetilde{M}}{\partial y}=1+\frac{x}{y}, \qquad \frac{\partial\widetilde{N}}{\partial x}=\frac{x}{y}+1,
que são iguais, logo a equação multiplicada por x é exata.

Passo 5

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=\widetilde{M} e \partial\Phi/\partial y=\widetilde{N}.
Integro \widetilde{M} em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int \bigl(y+x\ln y\bigr)\,dx = xy + \frac{x^{2}}{2}\ln y + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar (constante de integração dependente de y).
Agora imposto \partial\Phi/\partial y=\widetilde{N}. Calculo:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x+\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{y}+g'(y)=x+\frac{x^{2}}{2y}+g'(y).
Comparando com \widetilde{N}=x+\dfrac{x^{2}}{2y} obtém-se g'(y)=0. Logo g(y) é constante, digamos C.
Portanto a função potencial é
\Phi(x,y)=xy+\frac{x^{2}}{2}\ln y + C.

Passo 6

A solução geral implícita da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante x) é dada por
\Phi(x,y)=\text{constante},
ou seja
xy+\frac{x^{2}}{2}\ln y = C,
onde C é uma constante arbitrária. Essa é a família de curvas soluções da equação original.

Resposta

xy+\dfrac{x^{2}}{2}\ln y=C

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