Integrar as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: integrar a equação — ou seja, encontrar a solução geral implícita
na forma de uma constante de primitiva.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Defino
como o coeficiente de . - Defino
como o coeficiente de . - A equação pode ser escrita como
.
Passo 2
Verificação de exatidão (conceito importante): uma equação diferencial
é exata se existir uma função
tal que
e
. Uma condição prática é
Calculo as derivadas parciais para ver se já é exata:
Como
a equação original não é exata. Então precisamos buscar um fator integrante (integrating factor).
Passo 3
Estratégia de solução (fator integrante do tipo potência): uma técnica prática é procurar um fator integrante do tipo
com
constantes. Se encontrarmos tal
, multiplicando a equação por
devemos obter uma equação exata. Vou montar a condição de exatidão após multiplicar por
.
Multiplicando
e
por
:
Calculo as derivadas parciais necessárias para a condição de exatidão
.
Primeiro:
Segundo:
Igualando
e agrupando os termos por potências de
e
obtemos duas igualdades de coeficientes:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
A segunda igualdade tem um termo
dependente de
. Para que essa igualdade seja válida para todos
é necessário que o coeficiente de
seja zero, ou seja
. Substituindo
na primeira igualdade vem
. Verifico a segunda com
:
portanto consistente. Conclusão: um fator integrante que funciona é
Passo 4
Multiplico a equação original por
. A equação transformada é
Simplificando:
Defino os novos coeficientes
Verifico exatidão:
que são iguais, logo a equação multiplicada por
é exata.
Passo 5
Encontrar a função potencial
tal que
e
.
Integro
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função a determinar (constante de integração dependente de
).
Agora imposto
. Calculo:
Comparando com
obtém-se
. Logo
é constante, digamos
.
Portanto a função potencial é
Passo 6
A solução geral implícita da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante
) é dada por
ou seja
onde
é uma constante arbitrária. Essa é a família de curvas soluções da equação original.