Utilizando o método da bisseção no intervalo
[0,0,5] :
  • Verifique se o intervalo é válido para aplicação do método
  • Apresente todas as iterações realizadas
  • Mostre os valores de \mathrm{a}, \mathrm{b}, ponto médio e \mathrm{f}(\mathrm{x}) em cada etapa
  • Explique como o intervalo é atualizado a cada iteração
  • Justifique o critério de parada
  • Determine a raíz aproximada com erro menor que 0,01

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações foram dadas (sem resolver nada ainda).
  • O enunciado pede:
    • Verificar se o intervalo fornecido é válido para aplicar o método da bisseção.
    • Apresentar todas as iterações realizadas.
    • Mostrar, para cada iteração, os valores de a, b, o ponto médio e f(x).
    • Explicar como o intervalo é atualizado a cada iteração.
    • Justificar o critério de parada.
    • Determinar a raiz aproximada com erro menor que 0,01.
  • As informações dadas no enunciado:
    • Um intervalo escrito como [0,0,5].
Observações importantes sobre a informação do enunciado:
  • Há ambiguidade no intervalo [0,0,5]. Possíveis interpretações razoáveis:
    1. O autor quis dizer [0,0{,}5] (uso de vírgula decimal), isto é, o intervalo [0,\,0{,}5] cujo comprimento é 0{,}5.
    2. O autor quis dizer [0,5] ou [0,\,5] (intervalo de 0 a 5), cujo comprimento é 5.
    3. Pode haver um erro de digitação; não se sabe com certeza qual é a intenção.
  • Informação que está faltando (essencial):
    • A função f(x) cuja raiz deve ser encontrada NÃO foi fornecida. Sem f(x) não é possível calcular valores numéricos de f(a), f(b), f(m) nem realizar iterações numéricas concretas.
Portanto: com os dados atuais não é possível executar iterações numéricas concretas do método da bisseção nem apresentar valores numéricos de f(x). Nas próximas etapas eu explico passo a passo COMO fazer o método (didático), apresento o esquema de iterações com as expressões que seriam usadas, e calculo quantas iterações são necessárias para garantir erro menor que 0{,}01 dependendo das duas interpretações razoáveis do intervalo.

Passo 2

Condição inicial (validação do intervalo) — o que precisa ser verificado antes de começar.
  • Regra do método da bisseção:
    Para aplicar o método da bisseção no intervalo [a,b] é necessário que f seja contínua em [a,b] e que
    f(a)\cdot f(b)<0.
    Essa condição garante que existe pelo menos uma raiz ímpar (ou uma raiz simples) em [a,b] pela continuidade (teorema do valor intermediário).
  • O que é preciso verificar na prática:
    1. Verificar se f é contínua em [a,b] (normalmente a função dada será contínua no enunciado; se for polinômio, racional com denominador não nulo no intervalo, exponencial, logaritmo com domínio respeitado etc., em geral é contínua).
    2. Calcular f(a) e f(b) e checar o sinal de f(a)\cdot f(b).
  • Aplicação ao nosso caso:
    • Não é possível calcular f(a) e f(b) porque f não foi fornecida. Logo não é possível verificar numericamente a condição f(a)\cdot f(b)<0.
    • Conclusão: não é possível confirmar se o intervalo é válido para aplicação do método sem a função f.

Passo 3

Descrição detalhada e didática do algoritmo da bisseção (como se faz, passo a passo, para você reproduzir na prova).
Suponha que já tenha verificado [f(a)\cdot f(b)<0). O método itera assim:
  • Inicialização:
    • Começa com a_0=a e b_0=b.
    • Computa o ponto médio m_0=\frac{a_0+b_0}{2}.
    • Avalia f(m_0).
  • Regra de atualização do intervalo (linha de raciocínio, intuitiva):
    • Se f(m_0)=0 então m_0 é raiz exata (parar).
    • Se f(a_0)\cdot f(m_0)<0, então a raiz está no intervalo [a_0,m_0]. Define-se a_1=a_0 e b_1=m_0.
    • Se f(m_0)\cdot f(b_0)<0, então a raiz está no intervalo [m_0,b_0]. Define-se a_1=m_0 e b_1=b_0.
    • Em termos práticos, compara-se o sinal de f(m_k) com f(a_k): se tiverem o mesmo sinal, substitui-se a_{k+1}=m_k; caso contrário, b_{k+1}=m_k.
  • Iteração genérica:
    • Para k=0,1,2,\dots: m_k=\frac{a_k+b_k}{2},\qquad\text{avaliar }f(m_k).Atualizar: \begin{cases} a_{k+1}=a_k,\; b_{k+1}=m_k &\text{se }f(a_k)\cdot f(m_k)<0,\\[4pt] a_{k+1}=m_k,\; b_{k+1}=b_k &\text{se }f(m_k)\cdot f(b_k)<0. \end{cases}(Se (f(m_k)=0] parar.)
  • Observação prática sobre sinais:
    • Em código ou na prova, muitas vezes se testa apenas se f(a_k)\cdot f(m_k)<0. Se for verdadeiro, coloca-se b_{k+1}=m_k. Caso contrário, coloca-se a_{k+1}=m_k (assumindo que não deu f(m_k)=0).]

Passo 4

Exemplo simbólico de como apresentar cada iteração (modelo de tabela que você deve preencher na prova quando tiver f).
Para cada iteração k apresente uma linha com:
  • a_k, b_k, m_k=\dfrac{a_k+b_k}{2}, f(a_k), f(m_k), f(b_k), e a decisão (novo intervalo).
Exemplo do formato (valores simbólicos, a preencher com a função real):
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} k & a_k & b_k & m_k & f(a_k) & f(m_k) & \text{decisão e }[a_{k+1},b_{k+1}]\\hline 0 & a & b & \dfrac{a+b}{2} & f(a) & f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) & \text{verificar sinais, escolher metade}\\\\ 1 & a_1 & b_1 & \dfrac{a_1+b_1}{2} & f(a_1) & f\!\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}\right) & \dots \end{array}ã
  • Na prova, calcule m_k explicitamente a cada passo (muito simples: média aritmética).
  • Calcule f(m_k) e compare sinais com f(a_k) (ou com f(b_k)) para escolher o intervalo da próxima iteração.

Passo 5

Critério de parada e justificativa teórica (como garantir erro menor que 0{,}01).
  • A propriedade fundamental do método da bisseção é que, depois de n iterações, o comprimento do intervalo é
    b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}.
    O ponto médio m_n é um aproximante da raiz com erro máximo (em norma absoluta) menor ou igual à metade do comprimento do intervalo:
    \left|m_n - \alpha\right|\le \frac{b_n-a_n}{2}=\frac{b-a}{2^{\,n+1}},
    onde \alpha é a raiz real dentro do intervalo inicial.
  • Critério para erro absoluto menor que uma tolerância \varepsilon (aqui \varepsilon=0{,}01):
    Queremos
    \frac{b-a}{2^{\,n+1}}\le \varepsilon.
    Resolvendo para n:
    2^{\,n+1}\ge \frac{b-a}{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad n+1 \ge \log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right) \quad\Longrightarrow\quad n \ge \log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1.
    Em prática usa-se a fórmula frequentemente escrita como
    n \ge \left\lceil \log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right) -1 \right\rceil,
    e toma-se n inteiro mínimo que satisfaz a desigualdade. Outra forma equivalente: requer-se
    \frac{b-a}{2^{\,n}}\le 2\varepsilon,
    e daí n\ge \log_2\!\left(\frac{b-a}{2\varepsilon}\right).
  • Observação prática:
    • Na prova normalmente você calcula n com a primeira fórmula e toma o menor inteiro que satisfaça.

Passo 6

Cálculo do número mínimo de iterações necessárias para obter erro menor que 0{,}01, nas duas interpretações plausíveis do intervalo.
Caso A — intervalo [0,\,0{,}5] (comprimento b-a=0{,}5):
  • Usando a fórmula direta (maior clareza numérica): \frac{b-a}{2^{\,n+1}}\le 0{,}01 \quad\Longrightarrow\quad \frac{0{,}5}{2^{\,n+1}}\le 0{,}01 \quad\Longrightarrow\quad 2^{\,n+1}\ge\frac{0{,}5}{0{,}01}=50.Agora: \log_2(50)\approx 5{,}6438.Assim n+1\ge 5{,}6438\Rightarrow n\ge 4{,}6438. Mas n deve ser inteiro, então o menor inteiro n que satisfaz é n=5? Verifiquemos com cuidado usando a forma habitual: normalmente contamos o número de iterações N necessário tal que \dfrac{b-a}{2^{N}}\le \varepsilon. Para essa forma: \frac{0{,}5}{2^{N}}\le 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad 2^{N}\ge 50 \quad\Rightarrow\quad N\ge \log_2(50)\approx 5{,}6438.Portanto é necessário N=6 iterações. (Resumo: com intervalo inicial 0{,}5 são necessárias 6 iterações para garantir erro \le 0{,}01.)
Caso B — intervalo [0,\,5] (comprimento b-a=5):
  • Igual raciocínio: \frac{5}{2^{N}}\le 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad 2^{N}\ge 500 \quad\Rightarrow\quad N\ge \log_2(500)\approx 8{,}9658.Portanto N=9 iterações são necessárias. (Resumo: com intervalo inicial 5 são necessárias 9 iterações para garantir erro \le 0{,}01.)

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo completo de como apresentar as iterações — modelo preenchível (faça isso na prova assim que tiver f).
Supondo que o intervalo seja [a,b] e que já verificou f(a)\cdot f(b)<0, escreva linha a linha:
  • Iteração 0:
    • a_0=a
    • b_0=b
    • m_0=\dfrac{a_0+b_0}{2}
    • Calcule f(a_0), f(m_0), f(b_0).
    • Se f(a_0)\cdot f(m_0)<0 então [a_1,b_1]=[a_0,m_0], senão [a_1,b_1]=[m_0,b_0].
  • Iteração 1:
    • a_1, b_1 já escolhidos.
    • m_1=\dfrac{a_1+b_1}{2}.
    • Calcule f(m_1) e repita a decisão.
  • Continue até N iterações, onde N é o número mínimo calculado no Passo 6 (por exemplo N=6 ou N=9 conforme a interpretação do intervalo).
Importante: em cada linha da prova escreva explicitamente os valores numéricos de a_k, b_k, m_k (com vírgula decimal), e os valores de f(\cdot) avaliados (se a função for simples, muitas vezes dá para simplificar os sinais rapidamente). Termine a última linha dando m_N como aproximação final e cite o limite de erro.

Passo 8

Explicação clara e curta de por que, sem f(x), não posso fornecer as iterações pedidas com valores numéricos.
  • O método da bisseção exige, a cada iteração, avaliar f em pontos específicos ( a_k, m_k, b_k) para decidir qual metade do intervalo contém a raiz. Sem a expressão de f não há como:
    • calcular f(a) e f(b) para verificar a condição inicial f(a)\cdot f(b)<0;
    • calcular f(m_k) para decidir como atualizar [a_k,b_k];
    • apresentar os valores numéricos solicitados em cada iteração.
Por isso, a única coisa que posso dar numericamente neste momento são:
  • o número mínimo de iterações necessárias para garantir erro <0{,}01 (conforme Passo 6), dependendo da interpretação do intervalo;
  • o procedimento exato que você deve seguir para preencher as iterações assim que tiver a função f.

Passo 9

Incentivo final e instruções práticas rápidas para você executar na prova (ou me enviar a função).
  • Se você me passar a função f(x) agora (sem pedir), eu executo todas as iterações passo a passo e dou a raiz aproximada com erro <0{,}01.
  • Na prova, siga este checklist:
    1. Escreva o intervalo claramente ( a e b).
    2. Calcule f(a) e f(b). Verifique f(a)\cdot f(b)<0.
    3. Calcule m_0, avalie f(m_0). Decida o novo intervalo e escreva a linha inteira (valores e sinais).
    4. Repita até completar N iterações (use N calculado como no Passo 6) ou até que f(m_k)=0.
    5. Informe m_N como aproximação e cite que |m_N-\alpha|\le(b-a)/2^{N+1}\le 0{,}01.

Resposta

Não é possível verificar a validade do intervalo nem apresentar as iterações numéricas porque a função f(x) não foi fornecida.
Número mínimo de iterações para erro <0{,}01: 6 iterações se o intervalo for [0,\,0{,}5]; 9 iterações se o intervalo for [0,\,5].

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