Utilizando o método da bisseção no intervalo
:
- Verifique se o intervalo é válido para aplicação do método
- Apresente todas as iterações realizadas
- Mostre os valores de
, ponto médio e
em cada etapa
- Explique como o intervalo é atualizado a cada iteração
- Justifique o critério de parada
- Determine a raíz aproximada com erro menor que 0,01
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações foram dadas (sem resolver nada ainda).
-
O enunciado pede:
- Verificar se o intervalo fornecido é válido para aplicar o método da bisseção.
- Apresentar todas as iterações realizadas.
- Mostrar, para cada iteração, os valores de
, , o ponto médio e . - Explicar como o intervalo é atualizado a cada iteração.
- Justificar o critério de parada.
- Determinar a raiz aproximada com erro menor que
.
-
As informações dadas no enunciado:
- Um intervalo escrito como
.
- Um intervalo escrito como
Observações importantes sobre a informação do enunciado:
-
Há ambiguidade no intervalo
. Possíveis interpretações razoáveis: - O autor quis dizer
(uso de vírgula decimal), isto é, o intervalo cujo comprimento é . - O autor quis dizer
ou (intervalo de a ), cujo comprimento é . - Pode haver um erro de digitação; não se sabe com certeza qual é a intenção.
- O autor quis dizer
-
Informação que está faltando (essencial):
- A função
cuja raiz deve ser encontrada NÃO foi fornecida. Sem não é possível calcular valores numéricos de , , nem realizar iterações numéricas concretas.
- A função
Portanto: com os dados atuais não é possível executar iterações numéricas concretas do método da bisseção nem apresentar valores numéricos de
. Nas próximas etapas eu explico passo a passo COMO fazer o método (didático), apresento o esquema de iterações com as expressões que seriam usadas, e calculo quantas iterações são necessárias para garantir erro menor que
dependendo das duas interpretações razoáveis do intervalo.
Passo 2
Condição inicial (validação do intervalo) — o que precisa ser verificado antes de começar.
-
Regra do método da bisseção:
Para aplicar o método da bisseção no intervaloé necessário que seja contínua em e que Essa condição garante que existe pelo menos uma raiz ímpar (ou uma raiz simples) empela continuidade (teorema do valor intermediário). -
O que é preciso verificar na prática:
- Verificar se
é contínua em (normalmente a função dada será contínua no enunciado; se for polinômio, racional com denominador não nulo no intervalo, exponencial, logaritmo com domínio respeitado etc., em geral é contínua). - Calcular
e e checar o sinal de .
- Verificar se
-
Aplicação ao nosso caso:
- Não é possível calcular
e porque não foi fornecida. Logo não é possível verificar numericamente a condição . - Conclusão: não é possível confirmar se o intervalo é válido para aplicação do método sem a função
.
- Não é possível calcular
Passo 3
Descrição detalhada e didática do algoritmo da bisseção (como se faz, passo a passo, para você reproduzir na prova).
Suponha que já tenha verificado [f(a)\cdot f(b)<0). O método itera assim:
-
Inicialização:
- Começa com
e . - Computa o ponto médio
- Avalia
.
- Começa com
-
Regra de atualização do intervalo (linha de raciocínio, intuitiva):
- Se
então é raiz exata (parar). - Se
, então a raiz está no intervalo . Define-se e . - Se
, então a raiz está no intervalo . Define-se e . - Em termos práticos, compara-se o sinal de
com : se tiverem o mesmo sinal, substitui-se ; caso contrário, .
- Se
-
Iteração genérica:
- Para
: Atualizar: (Se (f(m_k)=0] parar.)
- Para
-
Observação prática sobre sinais:
- Em código ou na prova, muitas vezes se testa apenas se
. Se for verdadeiro, coloca-se . Caso contrário, coloca-se (assumindo que não deu ).]
- Em código ou na prova, muitas vezes se testa apenas se
Passo 4
Exemplo simbólico de como apresentar cada iteração (modelo de tabela que você deve preencher na prova quando tiver
).
Para cada iteração
apresente uma linha com:
-
, , , , , , e a decisão (novo intervalo).
Exemplo do formato (valores simbólicos, a preencher com a função real):
- Na prova, calcule
explicitamente a cada passo (muito simples: média aritmética). - Calcule
e compare sinais com (ou com ) para escolher o intervalo da próxima iteração.
Passo 5
Critério de parada e justificativa teórica (como garantir erro menor que
).
-
A propriedade fundamental do método da bisseção é que, depois de
iterações, o comprimento do intervalo é O ponto médioé um aproximante da raiz com erro máximo (em norma absoluta) menor ou igual à metade do comprimento do intervalo: ondeé a raiz real dentro do intervalo inicial. -
Critério para erro absoluto menor que uma tolerância
(aqui ):
QueremosResolvendo para: Em prática usa-se a fórmula frequentemente escrita comoe toma-seinteiro mínimo que satisfaz a desigualdade. Outra forma equivalente: requer-se e daí. -
Observação prática:
- Na prova normalmente você calcula
com a primeira fórmula e toma o menor inteiro que satisfaça.
- Na prova normalmente você calcula
Passo 6
Cálculo do número mínimo de iterações necessárias para obter erro menor que
, nas duas interpretações plausíveis do intervalo.
Caso A — intervalo
(comprimento
):
- Usando a fórmula direta (maior clareza numérica):
Agora: Assim . Mas deve ser inteiro, então o menor inteiro que satisfaz é ? Verifiquemos com cuidado usando a forma habitual: normalmente contamos o número de iterações necessário tal que . Para essa forma: Portanto é necessário iterações. (Resumo: com intervalo inicial são necessárias iterações para garantir erro .)
Caso B — intervalo
(comprimento
):
- Igual raciocínio:
Portanto iterações são necessárias. (Resumo: com intervalo inicial são necessárias iterações para garantir erro .)
Passo 7
Exemplo numérico ilustrativo completo de como apresentar as iterações — modelo preenchível (faça isso na prova assim que tiver
).
Supondo que o intervalo seja
e que já verificou
, escreva linha a linha:
-
Iteração
: -
-
-
- Calcule
, , . - Se
então , senão .
-
-
Iteração
: -
, já escolhidos. -
. - Calcule
e repita a decisão.
-
-
Continue até
iterações, onde é o número mínimo calculado no Passo 6 (por exemplo ou conforme a interpretação do intervalo).
Importante: em cada linha da prova escreva explicitamente os valores numéricos de
,
,
(com vírgula decimal), e os valores de
avaliados (se a função for simples, muitas vezes dá para simplificar os sinais rapidamente). Termine a última linha dando
como aproximação final e cite o limite de erro.
Passo 8
Explicação clara e curta de por que, sem
, não posso fornecer as iterações pedidas com valores numéricos.
- O método da bisseção exige, a cada iteração, avaliar
em pontos específicos ( , , ) para decidir qual metade do intervalo contém a raiz. Sem a expressão de não há como: - calcular
e para verificar a condição inicial ; - calcular
para decidir como atualizar ; - apresentar os valores numéricos solicitados em cada iteração.
- calcular
Por isso, a única coisa que posso dar numericamente neste momento são:
- o número mínimo de iterações necessárias para garantir erro
(conforme Passo 6), dependendo da interpretação do intervalo; - o procedimento exato que você deve seguir para preencher as iterações assim que tiver a função
.
Passo 9
Incentivo final e instruções práticas rápidas para você executar na prova (ou me enviar a função).
- Se você me passar a função
agora (sem pedir), eu executo todas as iterações passo a passo e dou a raiz aproximada com erro . - Na prova, siga este checklist:
- Escreva o intervalo claramente (
e ). - Calcule
e . Verifique . - Calcule
, avalie . Decida o novo intervalo e escreva a linha inteira (valores e sinais). - Repita até completar
iterações (use calculado como no Passo 6) ou até que . - Informe
como aproximação e cite que .
- Escreva o intervalo claramente (
Resposta
Não é possível verificar a validade do intervalo nem apresentar as iterações numéricas porque a função
não foi fornecida.
Número mínimo de iterações para erro :
iterações se o intervalo for
;
iterações se o intervalo for
.
Número mínimo de iterações para erro