Integrar os sistemas de equações diferenciais
l d yd x=1-1z d zd x=1y-x

Passo 1

O enunciado pede para integrar o sistema de EDOs de 1ª ordem acopladas
dydx=1-1z, dzdx=1y-x
Vamos usar uma substituição esperta para desacoplar as variáveis.

Passo 2

Definimos a nova variável
u = y - x
Derivando em relação a x:
dudx = dydx - 1 = l(1 - 1zr) - 1 = -1z
Logo ficamos com o sistema
dudx = -1z, dzdx = 1u

Passo 3

Para eliminar x, observamos que
ddx(u z) = udzdx + zdudx = ucdot1u + zcdotl(-1zr) = 1 - 1 = 0
Isto mostra que
u z = C1,
onde C1 é uma constante de integração.

Passo 4

De u z = C1 segue u = C1/z. Substituindo em
dzdx = 1u = zC1,
temos uma EDO separável:
1z,dz = 1C1,dx
Integramos:
ln|z| = xC1 + C2
ou seja
z = C3 e^x/C1,
com C3 = e^C2.

Passo 5

Sabendo que u = y - x = C1/z, obtemos
y = x + C1z
Substituindo z = C3 e^x/C1, chega-se a
y(x) = x + C1C3 e^-x/C1
Renomeando as constantes de integração em geral como C1 e C2, podemos apresentar a solução de forma compacta.

Resposta

y(x) = x + C2 e^-x/C1
z(x) = C1C2 e^x/C1
onde C1 e C2 são constantes de integração arbitrárias.

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