Integrar os sistemas de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para integrar o sistema de EDOs de 1ª ordem acopladas
Vamos usar uma substituição esperta para desacoplar as variáveis.
Passo 2
Definimos a nova variável
Derivando em relação a
:
Logo ficamos com o sistema
Passo 3
Para eliminar
, observamos que
Isto mostra que
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
De
segue
. Substituindo em
temos uma EDO separável:
Integramos:
ou seja
com
.
Passo 5
Sabendo que
, obtemos
Substituindo
, chega-se a
Renomeando as constantes de integração em geral como
e
, podemos apresentar a solução de forma compacta.
Resposta
onde
e
são constantes de integração arbitrárias.