Uma equação diferencial parcial (E.D.P.) é uma equação que envolve derivadas parciais de uma função z=f(x, y).
Verifique que u(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2 é solução da E.D.P. tridimensional de Laplace
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=0
Esta E.D.P. aparece na Física. Por exemplo, se u(x, y, z) representa a força do campo magnético na posição (x, y, z), então ela satisfaz a E.D.P tridimensional de Laplace.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ u(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} $ e precisamos verificar se ela é solução da Equação Diferencial Parcial (E.D.P.) de Laplace tridimensional, que é dada por:
u(x, y, z) = 1raizx^2+y^2+z^2
Para resolver isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ e somá-las para ver se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $. A função $ u $ pode ser escrita como $ u = (x{2}+y{2}+z{2}){-1/2} $. Usando a regra da cadeia, temos:
u

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Aplicando a regra do produto:
x

Passo 4

De forma similar, calculamos as segundas derivadas parciais em relação a $ y $ e $ z $:
y
z

Passo 5

Agora, vamos somar as três segundas derivadas parciais:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2 = -3 (x^2+y^2+z^2)^-3/2 + 3 (x^2+y^2+z^2)^-5/2 (x^2+y^2+z^2) = 0
A última igualdade acontece porque $ 3 (x{2}+y{2}+z{2}){-5/2} (x{2}+y{2}+z^{2}) = 3 (x{2}+y{2}+z{2}){-3/2} $, que cancela com o primeiro termo.

Resposta

Portanto, verificamos que:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2 = 0
Isso mostra que a função $ u(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} $ é, de fato, uma solução da E.D.P. tridimensional de Laplace.

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