Uma equação diferencial parcial (E.D.P.) é uma equação que envolve derivadas parciais de uma função
.
Verifique que
é solução da E.D.P. tridimensional de Laplace
Esta E.D.P. aparece na Física. Por exemplo, se
representa a força do campo magnético na posição
, então ela satisfaz a E.D.P tridimensional de Laplace.
Verifique que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ u(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} $ e precisamos verificar se ela é solução da Equação Diferencial Parcial (E.D.P.) de Laplace tridimensional, que é dada por:
Para resolver isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ e somá-las para ver se o resultado é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $. A função $ u $ pode ser escrita como $ u = (x{2}+y{2}+z{2}){-1/2} $. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
De forma similar, calculamos as segundas derivadas parciais em relação a $ y $ e $ z $:
Passo 5
Agora, vamos somar as três segundas derivadas parciais:
A última igualdade acontece porque $ 3 (x{2}+y{2}+z{2}){-5/2} (x{2}+y{2}+z^{2}) = 3 (x{2}+y{2}+z{2}){-3/2} $, que cancela com o primeiro termo.
Resposta
Portanto, verificamos que:
Isso mostra que a função $ u(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} $ é, de fato, uma solução da E.D.P. tridimensional de Laplace.