Integrar os sistemas de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para integrar o sistema linear de EDOs de coeficientes constantes,
Esse é um problema de sistemas lineares onde vamos usar autovalores, autovetores e vetor generalizado.
Passo 2
Colocar em forma matricial: defino o vetor de estado
e a matriz de coeficientes
Então o sistema vira
Passo 3
Calcular o polinômio característico de
:
Logo há raiz dupla
.
Passo 4
Encontrar o autovetor associado a
:
Resolvendo temos
Resolvendo
que leva a
. Posso escolher
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica é 1, preciso de um vetor generalizado
satisfazendo
Usando
o sistema dá
. Um escolha simples é
Passo 6
Montar a solução geral do sistema repetido: para raiz dupla cria-se
onde
são constantes.
Passo 7
Extrair as componentes explícitas. Como
e
, temos
Resposta
A solução geral é
com
.