Integrar os sistemas de equações diferenciais
l d zd x=-y-3 z d yd x=z-y

Passo 1

O enunciado pede para integrar o sistema linear de EDOs de coeficientes constantes,
dzdx=-y-3z dydx=z-y
Esse é um problema de sistemas lineares onde vamos usar autovalores, autovetores e vetor generalizado.

Passo 2

Colocar em forma matricial: defino o vetor de estado
X(x)=z(x)y(x)
e a matriz de coeficientes
A=-3 & -11 & -1
Então o sistema vira
X'(x)=A,X(x)

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=(-3-lambda)(-1-lambda)-(-1)(1)=lambda^2+4lambda+4=(lambda+2)^2
Logo há raiz dupla lambda=-2.

Passo 4

Encontrar o autovetor associado a lambda=-2:
Resolvendo (A+2I)v=0 temos
(A+2I)=-1 & -11 & 1,
que leva a v1+v2=0. Posso escolher
v=1-1

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica é 1, preciso de um vetor generalizado w satisfazendo
(A+2I)w=v
Usando
w=ab,
o sistema dá a+b=-1. Um escolha simples é
w=0-1

Passo 6

Montar a solução geral do sistema repetido: para raiz dupla cria-se
X(x)=e^-2xl(C1,v+C2,(x,v+w)r),
onde C1,C2 são constantes.

Passo 7

Extrair as componentes explícitas. Como
1-1 e
0-1, temos
z(x)=e^-2xl(C1+C2,xr),
y(x)=e^-2xl(-C1-C2(x+1)r)

Resposta

A solução geral é
z(x)=e^-2xl(C1+C2xr),
y(x)=-e^-2xl(C1+C2(x+1)r),
com C1,C2inR.

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