Resolver pelo método da transformada de Laplace.
d^2 xd t^2-2 a d xd t+(a^2+b^2) x=0 para x(0)=u, d xd t(0)=v.

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Temos
d^2xdt^2 - 2adxdt + (a^2+b^2)x = 0,
com as condições iniciais x(0)=u e x'(0)=v. Para resolver pelo método da transformada de Laplace, vamos precisar das propriedades de transformada de derivadas e da transformada de funções da forma e^atcos bt e e^atsin bt.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO, usando X(s)=Lx(t):
Lx'' - 2aLx' + (a^2+b^2)Lx = 0
Sabemos que:
Lx'' = s^2X(s) - s x(0) - x'(0),
Lx' = s X(s) - x(0)

Passo 3

Substituindo as transformadas e as condições iniciais x(0)=u, x'(0)=v, obtemos:
(s^2X - su - v) - 2a(sX - u) + (a^2+b^2)X = 0
Agrupando termos em X(s):
X(s)igl(s^2 - 2as + a^2+b^2r) = su + v - 2au 
E o denominador é (s-a)^2 + b^2.

Passo 4

Isolando X(s) e reescrevendo o numerador de modo a reconhecer transformadas conhecidas:
X(s) = su + v - 2au(s-a)^2 + b^2 = u(s-a) + (v - a u)(s-a)^2 + b^2
Dividindo a segunda parcela por b e multiplicando por b:
X(s) = us-a(s-a)^2 + b^2 + v - a ubb(s-a)^2 + b^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa sabendo que
L^-1tfracs-a(s-a)^2+b^2 = e^atcos bt,
L^-1tfracb(s-a)^2+b^2 = e^atsin bt,
chegamos a
x(t) = u,e^atcos bt + v - a ub,e^atsin bt

Passo 6

Verificamos x(0)=u e x'(0)=v, obedecendo as condições iniciais.

Resposta

x(t) = e^{at}\bigl(u\cos bt + \tfrac{v - a u}{b}\sin bt\bigr)

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