Resolver pelo método da transformada de Laplace.
para
,
.
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Temos
Temos
com as condições iniciais
e
. Para resolver pelo método da transformada de Laplace, vamos precisar das propriedades de transformada de derivadas e da transformada de funções da forma
e
.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO, usando
:
Sabemos que:
Passo 3
Substituindo as transformadas e as condições iniciais
,
, obtemos:
Agrupando termos em
:
E o denominador é
.
Passo 4
Isolando
e reescrevendo o numerador de modo a reconhecer transformadas conhecidas:
Dividindo a segunda parcela por
e multiplicando por
:
Passo 5
Aplicando a transformada inversa sabendo que
chegamos a
Passo 6
Verificamos
e
, obedecendo as condições iniciais.
Resposta
x(t) = e^{at}\bigl(u\cos bt + \tfrac{v - a u}{b}\sin bt\bigr)