Integrar os sistemas de equações diferenciais
l d yd x=xy z d zd x=xy^2

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais de primeira ordem:
dydx=xy,z, dzdx=xy^2
O conteúdo envolvido é método de redução de sistema via troca de variável (daqui a pouco vamos usar dy/dz) e equações separáveis.

Passo 2

Para eliminar o x e relacionar diretamente y e z), usamos a regra da cadeia:
dydz=dydxdzdx=xy,zxy^2=yz
Aqui aplicamos que dy/dz=(dy/dx)/(dz/dx).

Passo 3

Agora temos a equação separável
dydz=yz
Separamos variáveis:
1y,dy=1z,dz
e integramos:
ln|y|=ln|z|+C1
Logo
y=C1,z,
com constante arbitrária C1.

Passo 4

Substituímos y=C1 z na segunda equação original dz/dx=x/y^2:
dzdx=x(C1 z)^2=xC1^2,z^2
Isso é outra equação separável em z e x.

Passo 5

Separamos variáveis em
z^2,dz=xC1^2,dx
e integramos:
integral z^2,dz=integralxC1^2,dxLongrightarrowz^33=x^22,C1^2+C2

Passo 6

Multiplicando por 3 e renomeando 3C2 como constante nova (que chamamos ainda de C2), obtemos
z^3=3x^22C1^2+C2
Logo
[z(x)=\Bigl(\frac{3x2}{2C_12}+C_2\Bigr)^{1/3},\quad y(x)=C_1,z(x).
]

Resposta

As soluções gerais do sistema são dadas por
z(x)=(3x^22C1^2+C2)^1/3,
y(x)=C1(3x^22C1^2+C2)^1/3,
com constantes arbitrárias C1 e C2.

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