Integrar os sistemas de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais de primeira ordem:
O conteúdo envolvido é método de redução de sistema via troca de variável (daqui a pouco vamos usar
Passo 2
Para eliminar o
e relacionar diretamente
e
, usamos a regra da cadeia:
Aqui aplicamos que
Passo 3
Agora temos a equação separável
Separamos variáveis:
e integramos:
Logo
com constante arbitrária
.
Passo 4
Substituímos
na segunda equação original
:
Isso é outra equação separável em
Passo 5
Separamos variáveis em
e integramos:
Passo 6
Multiplicando por 3 e renomeando
como constante nova (que chamamos ainda de
), obtemos
Logo
[z(x)=\Bigl(\frac{3x2}{2C_12}+C_2\Bigr)^{1/3},\quad y(x)=C_1,z(x).
]
Resposta
As soluções gerais do sistema são dadas por
com constantes arbitrárias