Integrar os sistemas de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para integrar o sistema de EDOs de segunda ordem
Esse conteúdo envolve sistemas lineares acoplados e a ideia é reduzir a um problema de ordem superior para depois resolver pela equação característica.
Passo 2
Para descolar (desacoplar) o sistema, derivamos a primeira equação duas vezes em relação a
:
Como
, temos:
Passo 3
Agora reconhecemos uma EDO linear homogênea de 4ª ordem:
Montamos a equação característica associada:
Passo 4
Resolvendo
encontramos as raízes:
Logo a solução geral para
é combinação linear das soluções elementares:
onde
são constantes de integração.
Passo 5
Para obter
basta usar
. Calculando a segunda derivada de
:
Portanto:
Resposta
A solução geral do sistema é
com
constantes de integração.