Integrar os sistemas de equações diferenciais
l d^2 xd t^2=y d^2 yd t^2=x

Passo 1

O enunciado pede para integrar o sistema de EDOs de segunda ordem
d^2xdt^2 = y, d^2ydt^2 = x
Esse conteúdo envolve sistemas lineares acoplados e a ideia é reduzir a um problema de ordem superior para depois resolver pela equação característica.

Passo 2

Para descolar (desacoplar) o sistema, derivamos a primeira equação duas vezes em relação a t:
d^2dt^2l(d^2xdt^2r) = d^2ydt^2
Como d^2xdt^2=y, temos:
d^4xdt^4 = d^2ydt^2 = x

Passo 3

Agora reconhecemos uma EDO linear homogênea de 4ª ordem:
d^4xdt^4 - x = 0
Montamos a equação característica associada:
r^4 - 1 = 0

Passo 4

Resolvendo r^4-1=0 encontramos as raízes:
r = pm1, r=pm i
Logo a solução geral para x(t) é combinação linear das soluções elementares:
x(t) = A e^t + B e^-t + Ccos t + Dsin t,
onde A,B,C,D são constantes de integração.

Passo 5

Para obter y(t) basta usar y = x''. Calculando a segunda derivada de x(t):
x''(t) = A e^t + B e^-t - Ccos t - Dsin t
Portanto:
y(t) = A e^t + B e^-t - Ccos t - Dsin t

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = A e^t + B e^-t + Ccos t + Dsin t,
y(t) = A e^t + B e^-t - Ccos t - Dsin t,
com A,B,C,D constantes de integração.

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