Resolver pelo método da transformada de Laplace.
para
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem
com condições iniciais
e
usando a transformada de Laplace. O conteúdo é resolução de EDO lineares com fonte via transformada de Laplace; vamos precisar da tabela de transformadas, especialmente
e
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO. Seja
. Então
o que vira
Passo 3
Reunindo
:
Logo
Passo 4
Focando no segundo termo, fazemos frações parciais para
. Procuramos constantes
e
tais que
Impondo numerador igual a
Passo 5
Agora invertemos a Laplace termo a termo. Lembrando que
e
. Então
Resposta
x(t)=x_{0}\cos(mt)+\frac{x_{0}’}{m}\sin(mt)+\frac{a}{m{2}-n{2}}\bigl(\cos(nt)-\cos(mt)\bigr)