Resolver pelo método da transformada de Laplace.
d^2 xd t^2+m^2 x=a cos n t para x(0)=x0, d xd t(0)=x0^prime

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem x''(t) + m^2 x(t) = acos(nt) com condições iniciais x(0)=x0 e x'(0)=x0' usando a transformada de Laplace. O conteúdo é resolução de EDO lineares com fonte via transformada de Laplace; vamos precisar da tabela de transformadas, especialmente Lx''(s)=s^2X(s)-s x0 - x0' e Lcos(nt)(s)=s/(s^2+n^2).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO. Seja X(s)=Lx(t)(s). Então
Lx''(t) + m^2Lx(t) = a,Lcos(nt)
o que vira
(s^2X(s)-s x0 - x0') + m^2 X(s) = ass^2+n^2

Passo 3

Reunindo X(s):
X(s),(s^2+m^2)=s x0 + x0' + ass^2+n^2
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X(s)=s x0 + x0's^2+m^2 ;+; as(s^2+n^2)(s^2+m^2)

Passo 4

Focando no segundo termo, fazemos frações parciais para dfracs(s^2+n^2)(s^2+m^2). Procuramos constantes A e B tais que
s(s^2+n^2)(s^2+m^2) = Ass^2+n^2 + Bss^2+m^2
Impondo numerador igual a s dá sistema A+B=0 e A m^2 + B n^2=1, que leva a A=1/(m^2-n^2) e B=-1/(m^2-n^2). Assim
s(s^2+n^2)(s^2+m^2) = 1m^2-n^2l(ss^2+n^2 - ss^2+m^2r)

Passo 5

Agora invertemos a Laplace termo a termo. Lembrando que L^-1s/(s^2+omega^2)=cos(omega t) e L^-11/(s^2+omega^2)=sin(omega t)/omega. Então
x(t)=x0cos(mt)+x0'msin(mt)+ a1m^2-n^2l(cos(nt)-cos(mt)r)

Resposta

x(t)=x_{0}\cos(mt)+\frac{x_{0}’}{m}\sin(mt)+\frac{a}{m{2}-n{2}}\bigl(\cos(nt)-\cos(mt)\bigr)

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