Resolver pelo método da transformada de Laplace.
d^4 xd t^4-2 d^2 xd t^2+x=sen t para x0=x0^prime=x0^prime prime=x0^prime prime prime=0

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação d^4xdt^4 -2d^2 xdt^2 + x = sin t com condições iniciais x(0)=x(0)=x(0)=x(0)=0. Vamos usar transformada de Laplace e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace e usando que as condições iniciais são zero:
Lx^(4)=s^4X(s), Lx''=s^2X(s),
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(s^4-2s^2+1)X(s)=1s^2+1
portanto
X(s)=1(s^2-1)^2,(s^2+1)

Passo 3

Fatoramos s^4-2s^2+1=(s^2-1)^2=(s-1)^2(s+1)^2. Fazemos a decomposição
1(s-1)^2(s+1)^2(s^2+1)=As-1+B(s-1)^2+Cs+1+D(s+1)^2+Es+Fs^2+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador e avaliando em s=1,-1,i,-i, obtemos
B=tfrac18,D=tfrac18,Ei+F=tfrac14,-Ei+F=tfrac14
que dá E=0, F=tfrac14. Usando simetria X(-s)=X(s) e avaliando em s=0 achamos C=-A e -2A=tfrac12, ou seja A=-tfrac14, C=tfrac14.

Passo 5

Portanto
X(s)=-141s-1+181(s-1)^2+141s+1+181(s+1)^2+141s^2+1
Invertendo cada termo com L^-11/(s-a)=e^at, L^-11/(s-a)^2=te^at, L^-11/(s^2+1)=sin t

Passo 6

Obtém-se
x(t)=-tfrac14e^t+tfrac18 te^t+tfrac14e^-t+tfrac18 te^-t+tfrac14sin t
Reorganizando, queda
x(t)=l(tfrac18t-tfrac14r)e^t+l(tfrac08t+tfrac14r)e^-t+tfrac14sin t

Resposta

x(t)=l(tfrac18t-tfrac14r)e^t+l(tfrac18t+tfrac14r)e^-t+tfrac14sin t

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