Resolver pelo método da transformada de Laplace.
d^3 xd t^3-d^2 xd t^2=0 para x(0)=2, d xd t(0)=0, d^2 xd t^2=1.

Passo 1

Vamos começar lembrando o que a gente tem: queremos resolver a equação dfracd^3xdt^3 - dfracd^2xdt^2 = 0 com as condições iniciais x(0)=2, x'(0)=0 e x''(0)=1. O método é a transformada de Laplace, e vamos usar as fórmulas padrões para Lx', Lx'' e Lx'''.

Passo 2

Aplica-se a transformada de Laplace em cada termo, usando as condições iniciais:
Lx''' = s^3X(s) - s^2x(0) - s,x'(0) - x''(0) = s^3X(s) - 2s^2 - 1
Lx'' = s^2X(s) - s,x(0) - x'(0) = s^2X(s) - 2s

Passo 3

Montamos a equação no domínio de s e isolamos X(s):
l(s^3X(s) - 2s^2 - 1r) - l(s^2X(s) - 2sr) = 0
Reagrupando,
(s^3 - s^2)X(s) = 2s^2 - 2s + 1
Portanto
X(s) = 2s^2 - 2s + 1s^2(s - 1)

Passo 4

Fazemos agora a decomposição em frações parciais supondo
X(s) = As + Bs^2 + Cs - 1
Isso gera a igualdade
(A + C)s^2 + (B - A)s - B = 2s^2 - 2s + 1
Comparando coeficientes, obtemos
A + C = 2,
B - A = -2 e
-B = 1.
Daí B = -1, A = 1 e C = 1.

Passo 5

Com os valores de A,B,C, temos
X(s) = 1s - 1s^2 + 1s - 1
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
  • L^-11/s = 1
  • L^-11/s^2 = t
  • L^-11/(s-1) = e^t
    Assim
x(t) = 1 - t + e^t

Resposta

x(t)=1 - t + e^t

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