Resolver pelo método da transformada de Laplace.
d^2 xd t^2-d xd t=t^2 para x(0)=0, d xd t(0)=0

Passo 1

Temos a EDO d^2xdt^2 - dxdt = t^2 com condições iniciais x(0)=0, x'(0)=0. O conteúdo é transformada de Laplace, precisaremos das fórmulas Lx', Lx'' e Lt^2.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados temos:
Lx'' - Lx' = Lt^2
Substituindo Lx'' = s^2 X(s) - s x(0) - x'(0), Lx' = s X(s) - x(0) e Lt^2 = 2/s^3 com IC x(0)=0, x'(0)=0, obtemos
(s^2 - s)X(s) = 2s^3 $$
X(s) = \frac{2}{s3(s2 - s)} = \frac{2}{s^4(s-1)}.
$$

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais:
2s^4(s-1) = As + Bs^2 + Cs^3 + Ds^4 + Es-1
Multiplicando por s^4(s-1) e comparando coeficientes, encontramos
A=B=C=D=-2 e E=2.

Passo 4

Invertendo cada parcela pela tabela de Laplace:
L^-1l(-2sr) = -2, L^-1l(-2s^2r) = -2t, L^-1l(-2s^3r) = -t^2,
L^-1l(-2s^4r) = -t^33, L^-1l(2s-1r) = 2e^t

Passo 5

Somando todos os termos obtemos a solução:
x(t) = -2 - 2t - t^2 - t^33 + 2e^t

Resposta

x(t) = -2 - 2t - t^2 - tfract^33 + 2e^t

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