Integrar os sistemas de equações diferenciais
Passo 1
A gente tem o sistema acoplado de segunda ordem
Isso é um sistema de ordem total 4 (duas equações de 2ª ordem), e o objetivo é decupar para obter uma única EDO em
e depois voltar em
.
Passo 2
Da segunda equação
, isolamos
Integrando uma vez em relação a
, introduzimos uma constante de integração
:
Passo 3
Para continuar, derivamos essa expressão para obter
:
Passo 4
Substituímos
e
na primeira equação
ficando
ou seja
logo
Passo 5
Integramos três vezes para achar
, com as constantes
:
Passo 6
Finalmente, voltamos em
usando
:
que simplifica para
Aqui os quatro parâmetros
são as constantes de integração.
Passo 7
Agora é só renomear as constantes se você quiser (por exemplo
) e está pronto!
Resposta
y(t)=\frac{t4}{24}+\frac{C_1,t3}{6}-et+\frac{C_2,t2}{2}+C_3,t+C_4,
x(t)=et+t-\frac{t3}{6}-\frac{C_1,t^2}{2}-C_2,t+(C_1-C_3),
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.