Integrar os sistemas de equações diferenciais
l ddotx+doty+x=e^t ddoty+dotx=1

Passo 1

A gente tem o sistema acoplado de segunda ordem
ddotx + doty + x = e^t,
ddoty + dotx = 1
Isso é um sistema de ordem total 4 (duas equações de 2ª ordem), e o objetivo é decupar para obter uma única EDO em y(t) e depois voltar em x(t).

Passo 2

Da segunda equação ddoty+dotx=1, isolamos
dotx = 1 - ddoty
Integrando uma vez em relação a t, introduzimos uma constante de integração C1:
x = integral(1 - ddoty),dt = t - doty + C1

Passo 3

Para continuar, derivamos essa expressão para obter ddotx:
ddotx = ddt(1 - ddoty) = -dddoty

Passo 4

Substituímos x e ddotx na primeira equação
ddotx + doty + x = e^t
ficando
-dddoty + doty + (t - doty + C1) = e^t
ou seja
-dddoty + t + C1 = e^t
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dddoty = t + C1 - e^t

Passo 5

Integramos três vezes para achar y(t), com as constantes C2, C3, C4:
y'' = t^22 + C1 t - e^t + C2,
y' = t^36 + C1 t^22 - e^t + C2 t + C3,
y = t^424 + C1 t^36 - e^t + C2 t^22 + C3 t + C4

Passo 6

Finalmente, voltamos em x(t) usando x = t - doty + C1:
x = t - l(t^36 + C1 t^22 - e^t + C2 t + C3r) + C1
que simplifica para
x(t) = e^t + t - t^36 - C1 t^22 - C2 t + (C1 - C3)
Aqui os quatro parâmetros C1,C2,C3,C4 são as constantes de integração.

Passo 7

Agora é só renomear as constantes se você quiser (por exemplo A=C1,B=C2,C=C3,D=C4) e está pronto!

Resposta

y(t)=\frac{t4}{24}+\frac{C_1,t3}{6}-et+\frac{C_2,t2}{2}+C_3,t+C_4,
x(t)=et+t-\frac{t3}{6}-\frac{C_1,t^2}{2}-C_2,t+(C_1-C_3),
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

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