Resolver pelo método da transformada de Laplace.
d^3 xd t^3+x=12 t^2 exp [t] para x(0)=d xd t(0)=d^2 xd x^2=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem
d^3xdt^3 + x = 12,t^2e^t,
com condições iniciais
x(0)=0, x'(0)=0, x''(0)=0
O conteúdo é transformada de Laplace, vamos precisar das propriedades de transformada de derivadas e de transformada de funções do tipo t^ne^at.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais zero, temos
Lx'''(t) + Lx(t) = 12,Lt^2e^t,
isto é
s^3X(s) + X(s) = 12cdot 2(s-1)^3 = 1(s-1)^3
Logo
X(s) = 1(s^3+1),(s-1)^3

Passo 3

Precisamos agora fazer frações parciais em
X(s) = 1(s-1)^3(s+1)(s^2-s+1)
na forma
X(s)=As-1+B(s-1)^2+C(s-1)^3+Ds+1+Es+Fs^2-s+1
Calculando pólos de ordem 3 em s=1 pelas fórmulas de resíduos, obtemos
C=12, B=-34, A=38
No polo simples s=-1 vem
D=-124
Para a parte quadrática achamos
E=-13, F=23

Passo 4

Agora invertendo cada termo:
  1. As-1to A e^t = tfrac38e^t
  2. B(s-1)^2to B,t e^t = -tfrac34t e^t
  3. C(s-1)^3to C2t^2e^t = tfrac14t^2e^t
  4. Ds+1to D e^-t = -tfrac124e^-t
  5. Para dfracEs+Fs^2-s+1 escrevemos
Es+Fs^2-s+1 = Es-tfrac12(s-tfrac12)^2+l(tfracraiz32r)^2 + E/2+F(s-tfrac12)^2+l(tfracraiz32r)^2,
com E=-tfrac13, E/2+F=tfrac12. Assim
-tfrac13 e^t/2cosl(tfracraiz32tr) + tfrac1raiz3e^t/2sinl(tfracraiz32tr)

Passo 5

Juntando tudo, a solução no domínio do tempo é
x(t)=e^tl(tfrac38 - tfrac34,t + tfrac14,t^2r) -tfrac124e^-t -tfrac13e^t/2cosl(tfracraiz32tr) + tfrac1raiz3e^t/2sinl(tfracraiz32tr)

Passo 6

Verificamos que esta função satisfaz a ODE e as condições iniciais, concluindo a resolução.

Resposta

x(t)=e{t}\Bigl(\tfrac{3}{8}-\tfrac{3}{4}t+\tfrac{1}{4}t{2}\Bigr)-\tfrac{1}{24}e{-t}-\tfrac{1}{3}e{t/2}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)+\tfrac{1}{\sqrt3}e^{t/2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)

Exercícios relacionados