Resolver pelo método da transformada de Laplace.
para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem
com condições iniciais
O conteúdo é transformada de Laplace, vamos precisar das propriedades de transformada de derivadas e de transformada de funções do tipo
.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais zero, temos
isto é
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Passo 3
Precisamos agora fazer frações parciais em
na forma
Calculando pólos de ordem 3 em
pelas fórmulas de resíduos, obtemos
No polo simples
vem
Para a parte quadrática achamos
Passo 4
Agora invertendo cada termo:
-
-
-
-
-
Para
escrevemos
com
,
. Assim
Passo 5
Juntando tudo, a solução no domínio do tempo é
Passo 6
Verificamos que esta função satisfaz a ODE e as condições iniciais, concluindo a resolução.
Resposta
x(t)=e{t}\Bigl(\tfrac{3}{8}-\tfrac{3}{4}t+\tfrac{1}{4}t{2}\Bigr)-\tfrac{1}{24}e{-t}-\tfrac{1}{3}e{t/2}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)+\tfrac{1}{\sqrt3}e^{t/2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}t\bigr)