Resolver pelo método da transformada de Laplace.
d^2 xd t^2+3 d xd t+2 x=0 para x(0)=1, d xd t(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, a equação diferencial
d^2xdt^2 + 3dxdt + 2x = 0
com condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=2. Vamos usar a teoria da transformada de Laplace, que nos permite converter derivadas em multiplicações por s no domínio de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que
Lx'(t) = sX(s) - x(0),
Lx''(t) = s^2X(s) - sx(0) - x'(0)
Fazendo isso, obtemos
(s^2X(s) - scdot 1 - 2) + 3l(sX(s) - 1r) + 2X(s) = 0

Passo 3

Agora agrupo os termos que contêm X(s) e isolo X(s):
X(s)igl(s^2 + 3s + 2r) - (s + 2) - 3 = 0 
ou seja
X(s)(s^2 + 3s + 2) = s + 5
Logo
X(s) = s + 5s^2 + 3s + 2

Passo 4

O denominador fatora como (s+1)(s+2). Vamos fazer frações parciais:
s+5(s+1)(s+2) = As+1 + Bs+2
Multiplicando em comum denominador:
A(s+2) + B(s+1) = s + 5
Igualando coeficientes, temos
A + B = 1, 2A + B = 5
Resolvendo, A=4 e B=-3. Assim
X(s) = 4s+1 - 3s+2

Passo 5

Para voltar a x(t), usamos a transformada inversa:
L^-1ltfrac4s+1r = 4e^-t, L^-1ltfrac3s+2r = 3e^-2t
Considerando o sinal, obtemos
x(t) = 4e^-t - 3e^-2t

Resposta

x(t) = 4e^{-t} - 3e^{-2t}

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