Resolver pelo método da transformada de Laplace.
para
,
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, a equação diferencial
com condições iniciais
e
. Vamos usar a teoria da transformada de Laplace, que nos permite converter derivadas em multiplicações por
no domínio de Laplace.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que
Fazendo isso, obtemos
Passo 3
Agora agrupo os termos que contêm
e isolo
:
ou seja
Logo
Passo 4
O denominador fatora como
. Vamos fazer frações parciais:
Multiplicando em comum denominador:
Igualando coeficientes, temos
Resolvendo,
e
. Assim
Passo 5
Para voltar a
, usamos a transformada inversa:
Considerando o sinal, obtemos
Resposta
x(t) = 4e^{-t} - 3e^{-2t}