Integre:
.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral\n\n integral0^T2 sinl(tfrac2pi tT-alphar),dt. O conteúdo é integração de uma função seno com deslocamento de fase e vamos usar a antiderivada de sin(kt-alpha).

Passo 2

Para integrarmos sin(kt-alpha), lembramos que a derivada de cos(kt-alpha) é -ksin(kt-alpha). Portanto, uma antiderivada de sin(kt-alpha) é
-1k,cos(kt-alpha)
Aqui temos k=tfrac2piT.

Passo 3

Aplicando a antiderivada nos limites de 0 a T/2:
integral0^T2 sinl(tfrac2pi tT-alphar)dt = l[-1kcosl(kt-alphar)r]0^T2 = -1kl[cosl(ktfracT2-alphar)-cos(-alpha)r]

Passo 4

Agora substituímos k=tfrac2piT e simplificamos usando identidades trigonométricas:
cosl(ktfracT2-alphar)=cos(pi-alpha)=-cosalpha,
cos(-alpha)=cosalpha
Então o colchete vira -cosalpha-cosalpha=-2cosalpha. Logo
integral0^T2 sinl(tfrac2pi tT-alphar)dt = -1k(-2cosalpha) = 2cosalphak = 2cosalpha2piT = Tpicosalpha

Resposta

tfracTpicosalpha

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