Dada a integral dupla
inverta a ordem de integração;
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
I = \int_{-2}^{1} \int_{x{2}}{2 - x} f(x,y),dy,dx, que é a integral sobre a região D definida por -2 ≤ x ≤ 1 e x² ≤ y ≤ 2 - x. Vamos usar geometria da região e achar, para cada y, o intervalo de x correspondente.
I = \int_{-2}^{1} \int_{x{2}}{2 - x} f(x,y),dy,dx, que é a integral sobre a região D definida por -2 ≤ x ≤ 1 e x² ≤ y ≤ 2 - x. Vamos usar geometria da região e achar, para cada y, o intervalo de x correspondente.
Passo 2
Primeiro, descrevemos a região D em termos de x e y: D = { (x,y) | -2 ≤ x ≤ 1 e x² ≤ y ≤ 2 - x }. Essas são duas curvas que se intersectam nos pontos que satisfazem x² = 2 - x. Resolvendo\
ajustamos que x = 1 ou x = -2. Os pontos de interseção são (1,1) e (-2,4). Além disso, o mínimo de y em D acontece quando x = 0, y = 0.
Passo 3
Agora identificamos o intervalo de y que cobre toda a região D. O menor valor de y em D é y = 0 (quando x = 0) e o maior é y = 4 (quando x = -2). Logo y varia de 0 até 4.
Passo 4
Para um y fixo, as restrições em x são duas: x² ≤ y e y ≤ 2 - x. A primeira dá -√y ≤ x ≤ √y. A segunda dá x ≤ 2 - y. Então, para cada y, x deve satisfazer
-√y ≤ x ≤ min(√y, 2 - y).
-√y ≤ x ≤ min(√y, 2 - y).
Passo 5
Precisamos determinar para quais y vale √y ≤ 2 - y e para quais vale 2 - y ≤ √y. Igualando √y = 2 - y, definimos t = √y e obtemos\
com raízes t = 1 e t = -2 (desprezamos t = -2). Assim, y = 1 é o valor onde os limites trocam de ordem.
Passo 6
Concluímos:
- Para 0 ≤ y ≤ 1, tem-se √y ≤ 2 - y, então x ∈ [ -√y, √y ].
- Para 1 ≤ y ≤ 4, tem-se 2 - y ≤ √y, então x ∈ [ -√y, 2 - y ].
Passo 7
Portanto, invertendo a ordem de integração obtemos