Dada a integral dupla
I=integralD f d A=integral-2^1 integralx^2^2-x f(x, y) d y d x
inverta a ordem de integração;

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
I = \int_{-2}^{1} \int_{x{2}}{2 - x} f(x,y),dy,dx, que é a integral sobre a região D definida por -2 ≤ x ≤ 1 e x² ≤ y ≤ 2 - x. Vamos usar geometria da região e achar, para cada y, o intervalo de x correspondente.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região D em termos de x e y: D = { (x,y) | -2 ≤ x ≤ 1 e x² ≤ y ≤ 2 - x }. Essas são duas curvas que se intersectam nos pontos que satisfazem x² = 2 - x. Resolvendo\
x^2 + x - 2 = 0
ajustamos que x = 1 ou x = -2. Os pontos de interseção são (1,1) e (-2,4). Além disso, o mínimo de y em D acontece quando x = 0, y = 0.

Passo 3

Agora identificamos o intervalo de y que cobre toda a região D. O menor valor de y em D é y = 0 (quando x = 0) e o maior é y = 4 (quando x = -2). Logo y varia de 0 até 4.

Passo 4

Para um y fixo, as restrições em x são duas: x² ≤ y e y ≤ 2 - x. A primeira dá -√y ≤ x ≤ √y. A segunda dá x ≤ 2 - y. Então, para cada y, x deve satisfazer
-√y ≤ x ≤ min(√y, 2 - y).

Passo 5

Precisamos determinar para quais y vale √y ≤ 2 - y e para quais vale 2 - y ≤ √y. Igualando √y = 2 - y, definimos t = √y e obtemos\
t^2 + t - 2 = 0
com raízes t = 1 e t = -2 (desprezamos t = -2). Assim, y = 1 é o valor onde os limites trocam de ordem.

Passo 6

Concluímos:
  • Para 0 ≤ y ≤ 1, tem-se √y ≤ 2 - y, então x ∈ [ -√y, √y ].
  • Para 1 ≤ y ≤ 4, tem-se 2 - y ≤ √y, então x ∈ [ -√y, 2 - y ].

Passo 7

Portanto, invertendo a ordem de integração obtemos
I = integraly=0^1 integralx=-raizy^raizy f(x,y),dx,dy + integraly=1^4 integralx=-raizy^2 - y f(x,y),dx,dy

Resposta

I = integral0^1 integral-raizy^raizy f(x,y),dx,dy + integral1^4 integral-raizy^2 - y f(x,y),dx,dy

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