Calcule as seguintes integrais:
.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral x,(x^2-1)^3,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição (método de mudança de variável), pois vemos uma função composta e sua “quase” derivada.

Passo 2

Para aplicar a substituição, definimos u = x^2 - 1. Então a derivada de u em relação a x é du/dx = 2x. Isso significa que du = 2x,dx ou, equivalentemente, x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Substituímos na integral original:
integral x,(x^2-1)^3,dx = integral (u)^3 cdot 12,du = 12integral u^3,du

Passo 4

Agora é só integrar em u:
12integral u^3,du = 12 cdot u^44 + C = u^48 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = x^2 - 1. Assim obtemos a antiderivada:
(x^2 - 1)^48 + C

Resposta

(x^2 - 1)^48 + C

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