Integre F(x, y)=y i+x j ao longo da curva indicada.
O círculo unitário de orientação positiva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial $ F(x, y) = y \mathbf{i} + x \mathbf{j} $ ao longo do círculo unitário com orientação positiva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo unitário. O círculo unitário é definido por $ x^2 + y^2 = 1 $. Podemos usar uma parametrização em termos de um ângulo $ \theta $, onde:
x^2 + y^2 = 1
theta
Aqui, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para percorrer todo o círculo uma vez na direção positiva (anti-horária).

Passo 3

Agora, vamos substituir essa parametrização no campo vetorial $ F(x, y) $:
F(x, y)

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o vetor diferencial $ d\mathbf{r} $ ao longo da curva. Derivando $ x $ e $ y $ em relação a $ \theta $, temos:
dr
x
Então,
y

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar $ F(\theta) \cdot d\mathbf{r} $:
F(theta) cdot dr
F(theta) cdot dr = (sin(theta) i + cos(theta) j) cdot (-sin(theta) dtheta , i + cos(theta) dtheta , j)
= sin(theta) cdot (-sin(theta)) dtheta + cos(theta) cdot cos(theta) dtheta
= -sin^2(theta) dtheta + cos^2(theta) dtheta
Usando a identidade trigonométrica $ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) $, temos:
= (cos^2(theta) - sin^2(theta)) dtheta

Passo 6

Finalmente, vamos integrar de $ \theta = 0 $ a $ \theta = 2\pi $:
theta = 0
A integral de $ \cos(2\theta) $ sobre um período completo é zero, pois a área positiva e negativa se cancelam.

Resposta

A integral de linha do campo vetorial $ F(x, y) = y \mathbf{i} + x \mathbf{j} $ ao longo do círculo unitário de orientação positiva é igual a 0.

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