Integre
ao longo da curva indicada.
O círculo unitário de orientação positiva.
O círculo unitário de orientação positiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial $ F(x, y) = y \mathbf{i} + x \mathbf{j} $ ao longo do círculo unitário com orientação positiva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o círculo unitário. O círculo unitário é definido por $ x^2 + y^2 = 1 $. Podemos usar uma parametrização em termos de um ângulo $ \theta $, onde:
Aqui, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para percorrer todo o círculo uma vez na direção positiva (anti-horária).
Passo 3
Agora, vamos substituir essa parametrização no campo vetorial $ F(x, y) $:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o vetor diferencial $ d\mathbf{r} $ ao longo da curva. Derivando $ x $ e $ y $ em relação a $ \theta $, temos:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar $ F(\theta) \cdot d\mathbf{r} $:
Usando a identidade trigonométrica $ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) $, temos:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar de $ \theta = 0 $ a $ \theta = 2\pi $:
A integral de $ \cos(2\theta) $ sobre um período completo é zero, pois a área positiva e negativa se cancelam.
Resposta
A integral de linha do campo vetorial $ F(x, y) = y \mathbf{i} + x \mathbf{j} $ ao longo do círculo unitário de orientação positiva é igual a 0.