Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
( ) Se (an) é uma sequência limitada então (an) converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação “Se uma sequência (an) é limitada, então (an) converge” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de sucessões e convergência aqui. Para resolver, precisamos entender o que significa uma sequência ser limitada e o que é convergência, além de saber como provar essas coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência (an) é limitada se existe um número real M tal que todos os termos da sequência estão entre -M e M. Em outras palavras, |an| <= M para todo n.

Passo 3

Agora, sobre a convergência: uma sequência (an) converge se ela se aproxima de um certo valor L à medida que n aumenta. Formalmente, limn to infty an = L.

Passo 4

A afirmação que precisamos verificar diz que toda sequência limitada converge. Mas será que isso é verdade? Vamos pensar: existem sequências que são limitadas, mas não convergem.

Passo 5

Por exemplo, considere a sequência (an) onde an = (-1)^n. Os termos dessa sequência são: -1, 1, -1, 1, -1, 1, . Essa sequência é limitada porque todos os termos estão entre -1 e 1, então ela é limitada.

Passo 6

No entanto, essa sequência não converge, porque não se aproxima de nenhum valor específico à medida que n cresce. Ela continua alternando entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único número.

Passo 7

Como encontramos uma sequência que é limitada, mas não converge, isso mostra que a afirmação original é falsa. Ou seja, nem toda sequência limitada necessariamente converge.

Resposta

A afirmação é falsa. Uma sequência limitada nem sempre converge, como no exemplo da sequência (-1)^n que é limitada, mas não converge.

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