Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
Se
é uma sequência limitada então
converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação “Se uma sequência
é limitada, então
converge” é verdadeira ou falsa. Estamos lidando com conceitos de sucessões e convergência aqui. Para resolver, precisamos entender o que significa uma sequência ser limitada e o que é convergência, além de saber como provar essas coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que todos os termos da sequência estão entre
e
. Em outras palavras,
para todo
.
Passo 3
Agora, sobre a convergência: uma sequência
converge se ela se aproxima de um certo valor
à medida que
aumenta. Formalmente,
.
Passo 4
A afirmação que precisamos verificar diz que toda sequência limitada converge. Mas será que isso é verdade? Vamos pensar: existem sequências que são limitadas, mas não convergem.
Passo 5
Por exemplo, considere a sequência
onde
. Os termos dessa sequência são: -1, 1, -1, 1, -1, 1,
. Essa sequência é limitada porque todos os termos estão entre -1 e 1, então ela é limitada.
Passo 6
No entanto, essa sequência não converge, porque não se aproxima de nenhum valor específico à medida que
cresce. Ela continua alternando entre -1 e 1 sem se estabilizar em um único número.
Passo 7
Como encontramos uma sequência que é limitada, mas não converge, isso mostra que a afirmação original é falsa. Ou seja, nem toda sequência limitada necessariamente converge.
Resposta
A afirmação é falsa. Uma sequência limitada nem sempre converge, como no exemplo da sequência
que é limitada, mas não converge.