Calcule a integral dupla
onde a região de integração é o retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região de integração é o retângulo
.
Informações dadas:
a função integranda é
e queremos o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Como
é contínua em todo o retângulo
(produto de funções contínuas), podemos usar a regra de Fubini: a integral dupla sobre um retângulo é igual a uma integral iterada. Ou seja,
Aqui eu escolhi integrar primeiro em
porque é mais direto:
é tratado como constante na integração em
.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna com respeito a
:
Ao integrar em
,
é constante. Lembra da primitiva de
: uma primitiva é
, porque derivando
aparece um fator
(regra da cadeia). Aqui
. Portanto,
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos
Passo 4
Avalio a expressão encontrada em
e
:
Como
, a integral interna fica simplesmente
. Logo a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 5
Agora calculo
. Uma primitiva de
é
, pois derivando
aparece
e precisamos compensar com
.
Portanto
Usando
e
, isso dá