(2,0) Calcule a integral dupla \iint_{R} x \cos (x y) d A onde a região de integração é o retângulo R=[1,2] \times[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x \cos(xy)\,dA
onde a região de integração é o retângulo R = [1,2]\times[0,\pi].
Informações dadas:
R = \{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\;0\le y\le \pi\},
a função integranda é f(x,y)=x\cos(xy) e queremos o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Como f(x,y)=x\cos(xy) é contínua em todo o retângulo R (produto de funções contínuas), podemos usar a regra de Fubini: a integral dupla sobre um retângulo é igual a uma integral iterada. Ou seja,
\iint_{R} x\cos(xy)\,dA = \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=0}^{\pi} x\cos(xy)\,dy\right)dx.
Aqui eu escolhi integrar primeiro em y porque é mais direto: x é tratado como constante na integração em y.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna com respeito a y:
\int_{y=0}^{\pi} x\cos(xy)\,dy.
Ao integrar em y, x é constante. Lembra da primitiva de \cos(ay): uma primitiva é \dfrac{1}{a}\sin(ay), porque derivando \sin(ay) aparece um fator a (regra da cadeia). Aqui a=x. Portanto,
\int \cos(xy)\,dy = \frac{1}{x}\sin(xy).
Multiplicando pelo fator x que estava fora, obtemos
\int_{y=0}^{\pi} x\cos(xy)\,dy = x\cdot\left[\frac{1}{x}\sin(xy)\right]_{y=0}^{y=\pi} = \left[\sin(xy)\right]_{0}^{\pi}.

Passo 4

Avalio a expressão encontrada em y=\pi e y=0:
\left[\sin(xy)\right]_{0}^{\pi} = \sin(\pi x) - \sin(0).
Como \sin(0)=0, a integral interna fica simplesmente \sin(\pi x). Logo a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\iint_{R} x\cos(xy)\,dA = \int_{1}^{2} \sin(\pi x)\,dx.

Passo 5

Agora calculo \displaystyle \int_{1}^{2}\sin(\pi x)\,dx. Uma primitiva de \sin(\pi x) é -\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi x), pois derivando \cos(\pi x) aparece -\pi\sin(\pi x) e precisamos compensar com -1/\pi.
Portanto
\int_{1}^{2}\sin(\pi x)\,dx = \left[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\right]_{x=1}^{x=2} = -\frac{1}{\pi}\cos(2\pi) + \frac{1}{\pi}\cos(\pi).
Usando \cos(2\pi)=1 e \cos(\pi)=-1, isso dá
-\frac{1}{\pi}\cdot 1 + \frac{1}{\pi}\cdot(-1) = -\frac{1}{\pi} - \frac{1}{\pi} = -\frac{2}{\pi}.

Resposta

-\dfrac{2}{\pi}

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