1. Integre G(x, y, z)=x y z sobre a superfície do sólido retangular limitado pelos planos x= \pm a, y= \pm b e z= \pm c.

Passo 1

O enunciado pede o integral de superfície do escalar G(x,y,z)=xyz sobre a superfície S de um paralelepípedo reto limitado pelos planos \,x=\pm a, \,y=\pm b e \,z=\pm c. Para resolver, usamos que
\iint_{S}G\,dS =\sum_{\text{faces}} \iint_{\text{face}} xyz\,dS
e aproveitamos a simetria de cada face para mostrar que cada integral é zero.

Passo 2

Considere as duas faces em x=\pm a. Na face x=a, temos dS=dydz e G=a\,y\,z, então
\iint_{x=a}xyz\,dS =\int_{-b}^{b}\!\int_{-c}^{c}a\,y\,z\,dz\,dy =a\Bigl(\int_{-b}^{b}y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{-c}^{c}z\,dz\Bigr).
Como \int_{-b}^{b}y\,dy=0 e \int_{-c}^{c}z\,dz=0, essa integral vale 0. Na face x=-a o mesmo argumento vale (só muda o fator constante -a), logo
\iint_{x=\pm a}xyz\,dS=0.

Passo 3

Nas faces em y=\pm b, parametrize com (x,z). Por exemplo, em y=b temos
G(x,b,z)=x\,b\,z, \quad dS=dxdz,
então
\iint_{y=b}xyz\,dS =b\Bigl(\int_{-a}^{a}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{-c}^{c}z\,dz\Bigr)=0,
pois \int_{-a}^{a}x\,dx=0. Igual para y=-b. Logo
\iint_{y=\pm b}xyz\,dS=0.

Passo 4

Nas faces em z=\pm c, parametrize com (x,y). Em z=c
G(x,y,c)=x\,y\,c, \quad dS=dxy,
e
\iint_{z=c}xyz\,dS =c\Bigl(\int_{-a}^{a}x\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{-b}^{b}y\,dy\Bigr)=0.
O mesmo vale em z=-c. Logo
\iint_{z=\pm c}xyz\,dS=0.

Passo 5

Somando as contribuições das seis faces do paralelepípedo, todas iguais a zero, obtemos
\iint_{S}xyz\,dS=0+0+0=0.

Resposta

\boxed{0}

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