Integre:
\int_{0}^{\sqrt{7}} \frac{x d x}{\sqrt[3]{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{0}^{\sqrt{7}} \frac{x\,dx}{\sqrt[3]{x^{2}+1}}.
O conteúdo principal é integração por substituição, pois reconhecemos que a derivada de x^2+1 aparece no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2 + 1,
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=1; quando x=\sqrt{7}, u=7+1=8.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{\sqrt{7}} \frac{x\,dx}{\sqrt[3]{x^{2}+1}} = \int_{1}^{8} \frac{\tfrac{du}{2}}{\sqrt[3]{u}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{8} u^{-\frac{1}{3}}\,du.

Passo 4

A antiderivada de u^{-\tfrac{1}{3}} é
\int u^{-\frac{1}{3}}\,du = \frac{u^{-\frac{1}{3}+1}}{-\tfrac{1}{3}+1} = \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{3}{2}\,u^{\frac{2}{3}}.
Multiplicando pelo fator \tfrac12, o primitivo torna-se
\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\,u^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{4}\,u^{\frac{2}{3}}.

Passo 5

Avalia-se de u=1 a u=8:
\frac{3}{4}\bigl(8^{\frac{2}{3}} - 1^{\frac{2}{3}}\bigr) = \frac{3}{4}\bigl((8^{\frac{1}{3}})^2 - 1\bigr) = \frac{3}{4}\bigl(2^2 - 1\bigr) = \frac{3}{4}\cdot 3 = \frac{9}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{4}

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