Integre:
\int_{2}^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4}}.
O conteúdo aqui é análise de convergência de integrais impróprias e uso de antiderivada da função \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}.

Passo 2

Para lidar com o limite infinito, reescrevemos a integral como
\lim_{t\to+\infty}\int_{2}^{t} \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4}}.

Passo 3

Uma primitiva conhecida é
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4}} =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr| + C.
(ou equivalentemente \operatorname{arsinh}(x/2), mas usaremos o logaritmo)

Passo 4

Substituindo os limites de 2 a t, obtemos
\int_{2}^{t} \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4}} =\ln\bigl(t+\sqrt{t^{2}+4}\bigr) -\ln\bigl(2+\sqrt{2^{2}+4}\bigr).

Passo 5

Agora fazemos t\to+\infty. Note que para t grande
t+\sqrt{t^{2}+4}\sim 2t,
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\ln\bigl(t+\sqrt{t^{2}+4}\bigr)\to+\infty.
O segundo termo é constante finita, mas o primeiro diverge.

Resposta

A integral diverge, i.e.\ seu valor é +\infty.

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