Integre:
\int\left(3 x^{2}-\sqrt{x}+3 e^{x}-x^{-1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(3x^{2}-\sqrt{x}+3e^{x}-x^{-1}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve integrar termo a termo: usar a regra da potência para x^{n}, a integral de e^{x} e a integral de x^{-1}.

Passo 2

Para os termos de potência, aplicamos a fórmula
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Assim,
\int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3}, \quad \int -\sqrt{x}\,dx = -\int x^{\tfrac12}\,dx =-\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} =-\frac{2}{3}x^{\tfrac32}.

Passo 3

Para o termo exponencial, usamos
\int e^{x}\,dx = e^{x}+C.
Logo,
\int 3e^{x}\,dx = 3e^{x}.

Passo 4

Para o termo -x^{-1}, lembramos que
\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.
Portanto,
\int -x^{-1}\,dx = -\ln\lvert x\rvert.

Passo 5

Somando todas as partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
x^{3}-\frac{2}{3}x^{\tfrac32}+3e^{x}-\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\boxed{x^{3}-\frac{2}{3}x^{\tfrac32}+3e^{x}-\ln\lvert x\rvert + C.}

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