(2,5 Pontos ) Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x, y, z)=5 x^2-3 x y+x y z r
a) Determine a taxa de variação do potencial no ponto P=(3,4,5) na direção do vetor v=i+j+k
b) Qual a direção de maior crescimento do potencial elétrico em P ?
c) Encontre a taxa de variação do potencial eétrico em P.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=5x^2-3xy+xyz
e pede, no ponto P=(3,4,5):
(a) a derivada direcional na direção de vec v=vec i+vec j+vec k;
(b) a direção de maior crescimento;
(c) a taxa de variação (máxima) do potencial em P.
Vamos usar derivadas parciais para formar o gradiente, avaliá-lo em P e então obter as derivadas direcionais e a magnitude.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais para obter o gradiente
nabla V(x,y,z) =l(partial Vpartial x,,partial Vpartial y,,partial Vpartial zr)
Como
partial Vpartial x=10x-3y+yz, partial Vpartial y=-3x+xz, partial Vpartial z=xy,
temos a expressão genérica de nabla V.

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(3,4,5):
partial Vpartial x|P =10cdot3-3cdot4+4cdot5=30-12+20=38,
partial Vpartial y|P =-3cdot3+3cdot5=-9+15=6,
partial Vpartial z|P =3cdot4=12
Logo
nabla V(P)=(38,,6,,12)

Passo 4

Para a derivada direcional em vec v usamos o versor
vec u=vec v|vec v| =(1,1,1)raiz1^2+1^2+1^2 =(1,1,1)raiz3
A derivada direcional é
Dvec uV(P)=nabla V(P)cdotvec u =38+6+12raiz3 =56raiz3

Passo 5

A direção de maior crescimento do potencial em P é a direção do próprio gradiente, isto é,
nabla V(P)=(38,6,12)
O versor correspondente é
nabla V(P)|nabla V(P)| =(38,6,12)raiz38^2+6^2+12^2 =(38,6,12)raiz1624 =(38,6,12)2raiz406

Passo 6

A taxa de variação máxima do potencial em P é a magnitude do gradiente:
|nabla V(P)| =raiz38^2+6^2+12^2 =raiz1624 =2raiz406

Resposta

(a) Dvec vV(P) =56raiz3
(b) direção de maior crescimento é nabla V(P)=(38,6,12), com versor (38,6,12)2raiz406.
(c) taxa de variação máxima em P é 2raiz406

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