Pontos Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por
a) Determine a taxa de variação do potencial no ponto na direção do vetor
b) Qual a direção de maior crescimento do potencial elétrico em ?
c) Encontre a taxa de variação do potencial eétrico em .
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico
e pede, no ponto :
(a) a derivada direcional na direção de ;
(b) a direção de maior crescimento;
(c) a taxa de variação (máxima) do potencial em .
Vamos usar derivadas parciais para formar o gradiente, avaliá-lo em e então obter as derivadas direcionais e a magnitude.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais para obter o gradiente
Como
temos a expressão genérica de .
Passo 3
Avaliar o gradiente em :
partial Vpartial y|P =-3cdot3+3cdot5=-9+15=6,
partial Vpartial z|P =3cdot4=12
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nabla V(P)=(38,,6,,12)
Passo 4
Para a derivada direcional em vec v usamos o versor
(a) Dvec vV(P) =56raiz3
(b) direção de maior crescimento é nabla V(P)=(38,6,12), com versor (38,6,12)2raiz406.
(c) taxa de variação máxima em P é 2raiz406