Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{k!\operatorname{sen}(k)}{1,3.5 \ldots(2 k-1)}

Passo 1

Temos a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!\,\sin(k)}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}.
Queremos verificar convergência e, em caso afirmativo, se é absoluta ou apenas condicional. O conteúdo principal envolvido será manipular fatoriais e usar o teste da razão para séries.

Passo 2

Observe que o produto dos ímpares de 1 até 2k-1 é o chamado duplo fatorial
1\cdot 3\cdot 5\cdots(2k-1)=(2k-1)!!.
Há a identidade
(2k)! \;=\;2^k\,k!\;(2k-1)!!,
da qual segue
(2k-1)!! \;=\;\frac{(2k)!}{2^k\,k!}.

Passo 3

Substituindo em cada termo
a_k=\frac{k!\,\sin(k)}{(2k-1)!!} =\;k!\,\sin(k)\;\frac{2^k\,k!}{(2k)!} =\sin(k)\,\frac{2^k\,(k!)^2}{(2k)!}.

Passo 4

Aplicamos o teste da razão na forma absoluta. Para
\displaystyle b_k=\bigl|a_k\bigr|, temos
\frac{b_{k+1}}{b_k} =\frac{2^{\,k+1}\,\bigl((k+1)!\bigr)^2/(2k+2)!}{2^k\,(k!)^2/(2k)!} =\frac{2\,(k+1)^2}{(2k+2)(2k+1)} =\frac{k+1}{2k+1}.
Como
\displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{2k+1}=\tfrac12<1, o teste da razão garante que
\sum b_k=\sum|a_k| converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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