Prove que o intervalo ( 0,1 ] não é aberto nem fechado. ( 2,0 )

Passo 1

Estamos no espaço \mathbb{R} com a topologia usual (distância euclidiana). A questão pede para mostrar que o conjunto
A = (0,1]
não é aberto e não é fechado. Vamos usar as definições usuais:
– Um conjunto é aberto se, para todo x nele, existe \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) está contido em A.
– Um conjunto é fechado se o seu complementar em \mathbb{R} é aberto (ou equivalentemente, se contém todas as suas fronteiras/limites).

Passo 2

Mostrando que A não é aberto.
Escolhemos o ponto x=1, que pertence a A. Se A fosse aberto, haveria algum \varepsilon>0 com
(1-\varepsilon,\,1+\varepsilon)\subseteq (0,1].
Porém, qualquer \varepsilon>0 faz com que 1+\tfrac\varepsilon2 seja um ponto em (1-\varepsilon,1+\varepsilon) e satisfaça 1+\tfrac\varepsilon2>1, logo 1+\tfrac\varepsilon2\notin(0,1]. Isso contradiz a inclusão, então A não é aberto.

Passo 3

Mostrando que A não é fechado.
O complementar de A é
\mathbb{R}\setminus A = (-\infty,0]\;\cup\;(1,\infty).
Para ser aberto, cada ponto desse complementar teria de ter um entorno inteiro dentro dele. Mas o ponto x=0 pertence a (-\infty,0] e, para qualquer \delta>0, o intervalo (0-\delta,0+\delta) contém pontos positivos menores que \delta, que estão em (0,1]. Assim não é possível encontrar \delta>0 com (-\delta,\delta)\subseteq\mathbb{R}\setminus A. Logo \mathbb{R}\setminus A não é aberto, e portanto A não é fechado.

Resposta

O intervalo (0,1] não é aberto nem fechado em \mathbb{R} com a topologia usual.

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