Prove que o intervalo ( 0,1 ] não é aberto nem fechado. ( 2,0 )
Passo 1
Estamos no espaço
com a topologia usual (distância euclidiana). A questão pede para mostrar que o conjunto
não é aberto e não é fechado. Vamos usar as definições usuais:
– Um conjunto é aberto se, para todo nele, existe
tal que o intervalo aberto
está contido em
.
– Um conjunto é fechado se o seu complementar em é aberto (ou equivalentemente, se contém todas as suas fronteiras/limites).
– Um conjunto é aberto se, para todo
– Um conjunto é fechado se o seu complementar em
Passo 2
Mostrando que
não é aberto.
Escolhemos o ponto , que pertence a
. Se
fosse aberto, haveria algum
com
Escolhemos o ponto
Porém, qualquer
faz com que
seja um ponto em
e satisfaça
, logo
. Isso contradiz a inclusão, então
não é aberto.
Passo 3
Mostrando que
não é fechado.
O complementar de é
O complementar de
Para ser aberto, cada ponto desse complementar teria de ter um entorno inteiro dentro dele. Mas o ponto
pertence a
e, para qualquer
, o intervalo
contém pontos positivos menores que
, que estão em
. Assim não é possível encontrar
com
. Logo
não é aberto, e portanto
não é fechado.
Resposta
O intervalo
não é aberto nem fechado em
com a topologia usual.