Integre na ordem mais conveniente a integral dupla
, sendo a região D limitada pelas retas
e pela curava
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada pelas retas
,
,
e pela curva
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - A região
é descrita implicitamente pelas quatro curvas/retas citadas. - A tarefa é escolher a ordem de integração mais conveniente e calcular a integral dupla exatamente.
Passo 2
Entender bem a região
é o primeiro passo prático. Vamos descrevê-la com desigualdades: para cada
entre
e
a coordenada
vai de
até
. Ou seja, visualmente é a região abaixo da curva
, sobre o eixo
, entre as verticais
e
. Em fórmulas:
Por que essa descrição é conveniente? Porque podemos integrar primeiro em
(mantendo
fixo) sem precisar quebrar a região em partes. Se tentássemos integrar primeiro em
(ordem
) teríamos que dividir a integral em dois blocos em função de
(pois a curva
intersecta
em
), o que complica sem necessidade. Então a ordem escolhida é
. Montando a integral:
Passo 3
Agora calculamos a integral interior em
. Aqui
é tratado como constante porque estamos integrando em relação a
. Usamos a regra básica de potência para integrais:
- Regra:
.
Aplicando isso com o fator constante:
Agora avaliamos o que está entre colchetes:
implica
Multiplicando por
dá o resultado da integral interna:
Portanto a integral dupla se reduz a uma integral simples:
Passo 4
Vamos integrar
. Use a regra da potência para antiderivada:
- Regra:
para .
Aplicando come fator :
Agora avaliamos entre
e
:
Simplificando
.
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: a ordem
evitou ter que partir a região em pedaços e tornou a integral interna direta (porque
ficou como constante). As contas das potências e da avaliação dos limites estão feitas passo a passo. O resultado final é um número inteiro, o que é sempre reconfortante.