Integre na ordem mais conveniente a integral dupla \iint_{D} x y d x d y, sendo a região D limitada pelas retas x=4, x=1, y=0 e pela curava y=2 \sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D} x y\, dx\, dy, onde a região D é limitada pelas retas x=4, x=1, y=0 e pela curva y=2\sqrt{x}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é x y.
  • A região D é descrita implicitamente pelas quatro curvas/retas citadas.
  • A tarefa é escolher a ordem de integração mais conveniente e calcular a integral dupla exatamente.

Passo 2

Entender bem a região D é o primeiro passo prático. Vamos descrevê-la com desigualdades: para cada x entre 1 e 4 a coordenada y vai de 0 até 2\sqrt{x}. Ou seja, visualmente é a região abaixo da curva y=2\sqrt{x}, sobre o eixo y=0, entre as verticais x=1 e x=4. Em fórmulas:
1 \le x \le 4,\qquad 0 \le y \le 2\sqrt{x}.
Por que essa descrição é conveniente? Porque podemos integrar primeiro em y (mantendo x fixo) sem precisar quebrar a região em partes. Se tentássemos integrar primeiro em x (ordem dx\,dy) teríamos que dividir a integral em dois blocos em função de y (pois a curva x=y^2/4 intersecta x=1 em y=2), o que complica sem necessidade. Então a ordem escolhida é \,dy\,dx. Montando a integral:
\iint_{D} x y\, dx\, dy = \int_{x=1}^{4}\left(\int_{y=0}^{2\sqrt{x}} x y\, dy\right) dx.

Passo 3

Agora calculamos a integral interior em y. Aqui x é tratado como constante porque estamos integrando em relação a y. Usamos a regra básica de potência para integrais:
  • Regra: \displaystyle \int y\, dy = \tfrac{1}{2}y^{2}.
    Aplicando isso com o fator constante x:
\int_{y=0}^{2\sqrt{x}} x y\, dy = x\int_{0}^{2\sqrt{x}} y\, dy = x\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{2\sqrt{x}}.
Agora avaliamos o que está entre colchetes: y=2\sqrt{x} implica
\tfrac{1}{2}(2\sqrt{x})^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 4x = 2x.
Multiplicando por x dá o resultado da integral interna:
x\cdot 2x = 2x^{2}.
Portanto a integral dupla se reduz a uma integral simples:
\iint_{D} x y\, dx\, dy = \int_{1}^{4} 2x^{2}\, dx.

Passo 4

Vamos integrar \displaystyle \int_{1}^{4} 2x^{2}\, dx. Use a regra da potência para antiderivada:
  • Regra: \displaystyle \int x^{n}\, dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
    Aplicando com n=2 e fator 2:
\int 2x^{2}\, dx = 2\cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{2x^{3}}{3}.
Agora avaliamos entre x=1 e x=4:
\left[\frac{2x^{3}}{3}\right]_{1}^{4} = \frac{2\cdot 4^{3}}{3} - \frac{2\cdot 1^{3}}{3} = \frac{2\cdot 64}{3} - \frac{2}{3} = \frac{128-2}{3} = \frac{126}{3}.
Simplificando \tfrac{126}{3} = 42.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: a ordem \,dy\,dx evitou ter que partir a região em pedaços e tornou a integral interna direta (porque x ficou como constante). As contas das potências e da avaliação dos limites estão feitas passo a passo. O resultado final é um número inteiro, o que é sempre reconfortante.

Resposta

42

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