Determine o volume da esfera de raio R , usando coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume da esfera de raio \;R\; usando coordenadas esféricas.\n
Informações dadas:\n
  • O sólido é uma esfera de raio \;R\;.\n
  • Queremos calcular o volume total do sólido.\n
    Pergunta a responder:\n
  • Qual é o valor do volume da esfera de raio \;R\;, obtido por integração em coordenadas esféricas?

Passo 2

Definição das coordenadas esféricas que vamos usar (convencionalmente usadas em cálculo): \n
As coordenadas são \;(\rho,\varphi,\theta)\; com a transformação para coordenadas cartesianas dada por
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui:
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio), com \rho\ge 0.\n
  • \varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z), com 0\le\varphi\le\pi.\n
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\theta<2\pi.\n
    Isso define uma bijeção (exceto na origem e nas singularidades angulares) entre (\rho,\varphi,\theta) e (x,y,z) útil para integrais.

Passo 3

Explicação do elemento de volume em coordenadas esféricas (o “Jacobian”): \n
Para integrar em coordenadas esféricas precisamos do diferencial de volume dV. Imagine um pequeno aumento (d\rho,d\varphi,d\theta). As três dimensões do pequeno paralelepípedo esférico são aproximadamente:\n
  • ao longo da direção radial: comprimento \;d\rho\;,\n
  • na direção polar: arco de comprimento \;\rho\,d\varphi\; (pois um pequeno variação em \varphi gera arco de raio \rho),\n
  • na direção azimutal: arco de comprimento \;\rho\sin\varphi\,d\theta\; (o raio do círculo azimutal é \rho\sin\varphi).\n
    Multiplicando essas três dimensões temos a aproximação do volume elemental:
dV \approx d\rho\;(\rho\,d\varphi)\;(\rho\sin\varphi\,d\theta)=\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Portanto o elemento de volume exato que usamos é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Isso é essencial: cada vez que passamos para coordenadas não-lineares aparece um fator jacobiano; aqui é \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 4

Determinação dos limites de integração para a esfera de raio \;R\;:\n
  • \rho varia do centro até a superfície: \;0\le\rho\le R\;.\n
  • \varphi percorre do polo norte ao polo sul: \;0\le\varphi\le\pi\;.\n
  • \theta percorre todo o círculo azimutal: \;0\le\theta\le 2\pi\;.\n
    Logo o volume V é a integral tripla
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{R}\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Integração na ordem indicada: primeiro em \rho. \n
Calcule
\int_{0}^{R}\rho^{2}\;d\rho.
Usamos a regra básica de potências: \int \rho^{2}d\rho=\tfrac{\rho^{3}}{3}. Avaliando de 0 a R obtemos
\int_{0}^{R}\rho^{2}\;d\rho=\left[\tfrac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{R}=\tfrac{R^{3}}{3}.
Portanto a integral tripla reduz-se a
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\left(\tfrac{R^{3}}{3}\right)\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta=\tfrac{R^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Agora integramos em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;d\varphi.
Sabemos que uma primitiva de \sin\varphi é -\cos\varphi. Avaliando:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;d\varphi=[-\,\cos\varphi]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2.
Assim ficamos com
V=\tfrac{R^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}2\;d\theta=\tfrac{2R^{3}}{3}\int_{0}^{2\pi}d\theta.

Passo 7

Integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo:
V=\tfrac{2R^{3}}{3}\cdot 2\pi = \tfrac{4\pi R^{3}}{3}.

Passo 8

Interpretação rápida e checagem: \n
O resultado \;V=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}\; é o conhecido volume da esfera. Dimensionalmente faz sentido (unidade de volume é comprimento³) e para R=0 V=0. Para R=1 V=\tfrac{4}{3}\pi, que é o volume da esfera unitária — tudo coerente.

Resposta

V=\frac{4}{3}\pi R^{3}

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