Determine o volume da esfera de raio R , usando coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume da esfera de raio
usando coordenadas esféricas.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- O sólido é uma esfera de raio
.\n - Queremos calcular o volume total do sólido.\n
Pergunta a responder:\n - Qual é o valor do volume da esfera de raio
, obtido por integração em coordenadas esféricas?
Passo 2
Definição das coordenadas esféricas que vamos usar (convencionalmente usadas em cálculo): \n
As coordenadas são com a transformação para coordenadas cartesianas dada por
As coordenadas são
Aqui:
-
é a distância do ponto à origem (raio), com .\n -
é o ângulo polar (medido a partir do eixo ), com .\n -
é o ângulo azimutal no plano , com .\n
Isso define uma bijeção (exceto na origem e nas singularidades angulares) entree útil para integrais.
Passo 3
Explicação do elemento de volume em coordenadas esféricas (o “Jacobian”): \n
Para integrar em coordenadas esféricas precisamos do diferencial de volume . Imagine um pequeno aumento
. As três dimensões do pequeno paralelepípedo esférico são aproximadamente:\n
Para integrar em coordenadas esféricas precisamos do diferencial de volume
- ao longo da direção radial: comprimento
,\n - na direção polar: arco de comprimento
(pois um pequeno variação em gera arco de raio ),\n - na direção azimutal: arco de comprimento
(o raio do círculo azimutal é ).\n
Multiplicando essas três dimensões temos a aproximação do volume elemental:
Portanto o elemento de volume exato que usamos é
Isso é essencial: cada vez que passamos para coordenadas não-lineares aparece um fator jacobiano; aqui é
.
Passo 4
Determinação dos limites de integração para a esfera de raio
:\n
-
varia do centro até a superfície: .\n -
percorre do polo norte ao polo sul: .\n -
percorre todo o círculo azimutal: .\n
Logo o volumeé a integral tripla
Passo 5
Integração na ordem indicada: primeiro em
. \n
Calcule
Calcule
Usamos a regra básica de potências:
. Avaliando de
a
obtemos
Portanto a integral tripla reduz-se a
Passo 6
Agora integramos em
:
Sabemos que uma primitiva de
é
. Avaliando:
Assim ficamos com
Passo 7
Integramos em
:
Multiplicando tudo:
Passo 8
Interpretação rápida e checagem: \n
O resultado é o conhecido volume da esfera. Dimensionalmente faz sentido (unidade de volume é comprimento³) e para
dá
. Para
dá
, que é o volume da esfera unitária — tudo coerente.
O resultado