Calcule, usando coordenadas cilíndricas,
, onde R é a região cilíndrica dada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região cilíndrica dada por
Informações dadas: o sólido é um cilindro de raio
(no eixo
) estendendo-se de
a
. A integranda é
. A instrução explícita do enunciado é que usemos coordenadas cilíndricas para fazer o cálculo.
Passo 2
Vamos recordar como passar para coordenadas cilíndricas: as variáveis cartesianas
são expressas em termos de
por
Aqui
é a distância ao eixo
no plano
e
é o ângulo padrão no plano
. No cálculo de integrais, o elemento de volume
se transforma como
Explico por que aparece o fator
: geometricamente, ao transformar um retângulo infinitesimal
no plano polar ele vira uma região com área aproximada
(porque o comprimento do arco é
). Esse fator
é o determinante da transformação (Jacobiando), e é obrigatório quando mudamos de coordenadas.
Passo 3
Substituímos
e
na integranda. Como
, temos
Multiplicando pelo jacobiano
do elemento de volume, a integranda em coordenadas cilíndricas fica
Passo 4
Agora determinamos os limites de integração para
correspondente à região
. Como
, isso corresponde a
. Como queremos todo o círculo completo no plano
,
vai de
a
. E o eixo
varia de
a
. Portanto a integral tripla vira
Passo 5
Para simplificar a parte trigonométrica, use a identidade de ângulo duplo
Assim
. Substituindo na integranda obtemos
A integral fica
A ordem das integrais é indiferente; vou integrar primeiro em
, depois em
e por fim em
.
Passo 6
Integramos em
(de
a
):
Como a parte em
dá
, a integral reduz-se a
Observe que já usei que o fator numérico ficou
; portanto sobra apenas a integral de
em
, multiplicada pela integral em
.
Passo 7
Calculemos a integral em
:
Como
e
, isso dá
Portanto a integral em
é zero. Multiplicando pela integral em
(que seria
) continuamos com zero. Logo a integral tripla inteira é zero.
Passo 8
Interpretação geométrica (checagem rápida): a função
é ímpar em relação ao eixo
(ou ao eixo
) — por exemplo, trocar
por
muda o sinal de
— e a região
é simétrica em relação a essas trocas. Portanto é de esperar que a integral sobre todo o cilindro seja zero. A conta em coordenadas cilíndricas confirma isso.