Calcule, usando coordenadas cilíndricas, \iiint_{R} 8 x y d v, onde R é a região cilíndrica dada por x^{2}+y^{2} \leq 1 e 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} 8xy\,dv
onde R é a região cilíndrica dada por
x^{2}+y^{2}\leq 1,\qquad 0\leq z\leq 1.
Informações dadas: o sólido é um cilindro de raio 1 (no eixo z) estendendo-se de z=0 a z=1. A integranda é 8xy. A instrução explícita do enunciado é que usemos coordenadas cilíndricas para fazer o cálculo.

Passo 2

Vamos recordar como passar para coordenadas cilíndricas: as variáveis cartesianas (x,y,z) são expressas em termos de (r,\theta,z) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z no plano xy e \theta é o ângulo padrão no plano xy. No cálculo de integrais, o elemento de volume dv se transforma como
dv = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explico por que aparece o fator r: geometricamente, ao transformar um retângulo infinitesimal dr\times d\theta no plano polar ele vira uma região com área aproximada r\,dr\,d\theta (porque o comprimento do arco é r\,d\theta). Esse fator r é o determinante da transformação (Jacobiando), e é obrigatório quando mudamos de coordenadas.

Passo 3

Substituímos x e y na integranda. Como xy = r\cos\theta\cdot r\sin\theta = r^{2}\cos\theta\sin\theta, temos
8xy = 8r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo jacobiano r do elemento de volume, a integranda em coordenadas cilíndricas fica
8xy\,dv = 8r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = 8r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Agora determinamos os limites de integração para (r,\theta,z) correspondente à região R. Como x^{2}+y^{2}\le 1, isso corresponde a 0\le r\le 1. Como queremos todo o círculo completo no plano xy, \theta vai de 0 a 2\pi. E o eixo z varia de 0 a 1. Portanto a integral tripla vira
\iiint_{R} 8xy\,dv = \int_{z=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} 8r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 5

Para simplificar a parte trigonométrica, use a identidade de ângulo duplo
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Assim \cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta). Substituindo na integranda obtemos
8r^{3}\cos\theta\sin\theta = 8r^{3}\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2\theta) = 4r^{3}\sin(2\theta).
A integral fica
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 4r^{3}\sin(2\theta)\,dr\,d\theta\,dz.
A ordem das integrais é indiferente; vou integrar primeiro em r, depois em \theta e por fim em z.

Passo 6

Integramos em r (de 0 a 1):
\int_{0}^{1} 4r^{3}\,dr = 4\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 4\cdot\frac{1}{4}=1.
Como a parte em r 1, a integral reduz-se a
\int_{z=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi} \sin(2\theta)\,d\theta\,dz.
Observe que já usei que o fator numérico ficou 1; portanto sobra apenas a integral de \sin(2\theta) em \theta, multiplicada pela integral em z.

Passo 7

Calculemos a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \sin(2\theta)\,d\theta = \left[-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{2\pi} = -\tfrac{1}{2}\big(\cos(4\pi)-\cos(0)\big).
Como \cos(4\pi)=1 e \cos(0)=1, isso dá
-\tfrac{1}{2}(1-1)=0.
Portanto a integral em \theta é zero. Multiplicando pela integral em z (que seria \int_{0}^{1}dz=1) continuamos com zero. Logo a integral tripla inteira é zero.

Passo 8

Interpretação geométrica (checagem rápida): a função 8xy é ímpar em relação ao eixo x (ou ao eixo y) — por exemplo, trocar x por -x muda o sinal de xy — e a região R é simétrica em relação a essas trocas. Portanto é de esperar que a integral sobre todo o cilindro seja zero. A conta em coordenadas cilíndricas confirma isso.

Resposta

0

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