Calcule as integrais
\int \sin ^{5}(x) \sin ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{5}(x)\sin^{2}(x)\,dx.
Informações dadas que vamos usar: a variável de integração é x e o integrando é o produto \sin^{5}(x)\sin^{2}(x). Podemos observar que esse produto pode ser escrito como uma única potência de seno, ou seja \sin^{7}(x). A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma prática e por que funciona): quando temos uma potência ímpar de \sin, uma técnica muito eficiente é separar um fator \sin x e usar a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x, para então fazer a substituição u=\cos x. Isso funciona porque du=-\sin x\,dx, ou seja, o diferencial aparece naturalmente ao separar um \sin x. Vamos aplicar exatamente isso.

Passo 3

Reescrever o integrando de modo a isolar um \sin x:
\sin^{5}(x)\sin^{2}(x)=\sin^{7}(x)=\sin^{6}(x)\sin x=(\sin^{2}x)^{3}\sin x.
Agora usar a identidade trigonométrica
\sin^{2}x=1-\cos^{2}x,
portanto
(\sin^{2}x)^{3}=(1-\cos^{2}x)^{3}.
Então a integral fica
\int (\sin^{2}x)^{3}\sin x\,dx=\int (1-\cos^{2}x)^{3}\sin x\,dx.

Passo 4

Fazer a substituição u=\cos x. Então du=-\sin x\,dx, ou seja \sin x\,dx=-du. Substituindo na integral:
\int (1-\cos^{2}x)^{3}\sin x\,dx = \int (1-u^{2})^{3}(-du) = -\int (1-u^{2})^{3}\,du.

Passo 5

Expandir o polinômio (1-u^{2})^{3} para integrar termo a termo. Usando o binômio:
(1-u^{2})^{3}=1-3u^{2}+3u^{4}-u^{6}.
Então
-\int (1-u^{2})^{3}\,du = -\int \bigl(1-3u^{2}+3u^{4}-u^{6}\bigr)\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo aplicando a regra da potência: \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Calculando cada termo:
\int 1\,du = u,\quad \int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3},\quad \int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5},\quad \int u^{6}\,du=\frac{u^{7}}{7}.
Aplicando o sinal negativo:
-\int \bigl(1-3u^{2}+3u^{4}-u^{6}\bigr)\,du = -\Bigl(u - 3\cdot\frac{u^{3}}{3} + 3\cdot\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{7}}{7}\Bigr)+C.
Simplificando os fatores:
-\Bigl(u - u^{3} + \frac{3}{5}u^{5} - \frac{1}{7}u^{7}\Bigr)+C.

Passo 7

Voltar à variável x usando u=\cos x. Substituindo:
-\bigl(\cos x - \cos^{3}x + \tfrac{3}{5}\cos^{5}x - \tfrac{1}{7}\cos^{7}x\bigr)+C.
Distribuindo o sinal negativo:
-\cos x + \cos^{3}x - \tfrac{3}{5}\cos^{5}x + \tfrac{1}{7}\cos^{7}x + C.
Esse é o antiderivado desejado. Lembre-se de que C é a constante de integração.

Resposta

-\cos x + \cos^{3}x - \dfrac{3}{5}\cos^{5}x + \dfrac{1}{7}\cos^{7}x + C

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