Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas que vamos usar: a variável de integração é
e o integrando é o produto
. Podemos observar que esse produto pode ser escrito como uma única potência de seno, ou seja
. A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma prática e por que funciona): quando temos uma potência ímpar de
, uma técnica muito eficiente é separar um fator
e usar a identidade
, para então fazer a substituição
. Isso funciona porque
, ou seja, o diferencial aparece naturalmente ao separar um
. Vamos aplicar exatamente isso.
Passo 3
Reescrever o integrando de modo a isolar um
:
Agora usar a identidade trigonométrica
portanto
Então a integral fica
Passo 4
Fazer a substituição
. Então
, ou seja
. Substituindo na integral:
Passo 5
Expandir o polinômio
para integrar termo a termo. Usando o binômio:
Então
Passo 6
Integrar termo a termo aplicando a regra da potência:
.
Calculando cada termo:
Calculando cada termo:
Aplicando o sinal negativo:
Simplificando os fatores:
Passo 7
Voltar à variável
usando
. Substituindo:
Distribuindo o sinal negativo:
Esse é o antiderivado desejado. Lembre-se de que
é a constante de integração.