Integrem as funções compostas:
e)
Resp.: e)
e)
Resp.: e)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral definida que envolve uma função composta. O objetivo é calcular o valor dessa integral de $ r = 0 $ até $ r = R $. Vamos precisar usar a técnica de substituição para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
Podemos simplificar um pouco tirando $ \frac{1}{R^{2}} $ para fora da integral:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ r $:
Passo 4
Agora, vamos mudar os limites de integração conforme a substituição:
- Quando $ r = 0 $, $ u = 1 - 0 = 1 $
- Quando $ r = R $, $ u = 1 - 1 = 0 $
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos expandir a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Subtraindo os resultados:
Resposta
$ v = \frac{9}{28} $