Integrem as funções compostas:
e) v=integral0^R 1R^2(1-rR)^1 / 3 r d r
Resp.: e) v=928

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral definida que envolve uma função composta. O objetivo é calcular o valor dessa integral de $ r = 0 $ até $ r = R $. Vamos precisar usar a técnica de substituição para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
v = integral0^R 1R^2(1 - rR)^13 r , dr
Podemos simplificar um pouco tirando $ \frac{1}{R^{2}} $ para fora da integral:
1R^2

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 1 - rR
Então, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ r $:
u

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração conforme a substituição:
  • Quando $ r = 0 $, $ u = 1 - 0 = 1 $
  • Quando $ r = R $, $ u = 1 - 1 = 0 $

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
v = 1R^2 integral1^0 u^13 (R(1 - u)) (-R) , du
Simplificando os termos:
v = 1R^2 cdot R cdot R integral0^1 u^13 (1 - u) , du = integral0^1 u^13 (1 - u) , du

Passo 6

Agora, vamos expandir a integral:
integral0^1 u^13 - u^43 , du
Integrando termo a termo:
integral0^1 u^13 , du = u^4343 gr|0^1 = 34
integral0^1 u^43 , du = u^7373 gr|0^1 = 37

Passo 7

Subtraindo os resultados:
v = 34 - 37 = 2128 - 1228 = 928

Resposta

$ v = \frac{9}{28} $

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