Sejam a=i+2 j+k e b=-3 i-2 k. Determine os números reais x1 e x2 tais que, x1 a+x2 b=6 j+k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos dois vetores, a = i + 2j + k e b = -3i - 2k. Nosso objetivo é encontrar os números reais x1 e x2 tais que uma combinação linear desses vetores, ou seja, x1 a + x2 b, resulte no vetor 6j + k. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares de vetores e sistemas de equações.

Passo 2

Vamos escrever a equação x1 a + x2 b = 6j + k substituindo os vetores a e b:
x1 (i + 2j + k) + x2 (-3i - 2k) = 6j + k

Passo 3

Distribuindo os coeficientes x1 e x2 nos vetores:
x1i + 2x1j + x1k - 3x2i - 2x2k = 6j + k

Passo 4

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(x1 - 3x2)i + (2x1)j + (x1 - 2x2)k = 0i + 6j + 1k
Perceba que o vetor do lado direito não tem componente i, então igualamos cada componente:
  • Componente i: x1 - 3x2 = 0,
  • Componente j: 2x1 = 6,
  • Componente k: x1 - 2x2 = 1.

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
x1 - 3x2 = 0 2x1 = 6 x1 - 2x2 = 1
Primeiro, resolvemos a segunda equação para encontrar x1:
2x1 = 6 Rightarrow x1 = 3

Passo 6

Com o valor de x1 encontrado, substituímos na primeira equação para encontrar x2:
3 - 3x2 = 0 Rightarrow -3x2 = -3 Rightarrow x2 = 1

Passo 7

Por fim, verificamos se esses valores satisfazem a terceira equação:
3 - 2(1) = 1 3 - 2 = 1 1 = 1
Portanto, os valores encontrados estão corretos.

Resposta

Os números reais são x1 = 3 e x2 = 1.

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