Os vectores a e b formam um ângulo de 60^circ e |a|=3 ;|b|=4. Calcular:
a. a.b
b. (a+b)^2
c. (3 a-2 b) (a+2 b)
d. (-2 a+b) (b-a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem dois vetores, a e b, que formam um ângulo de 60^circ. As magnitudes desses vetores são |a| = 3 e |b| = 4. Precisamos calcular algumas coisas usando essas informações. Para isso, vamos usar o produto escalar (ou dot product) dos vetores, que relaciona os vetores, suas magnitudes e o ângulo entre eles. Vamos por partes!

Passo 2

a. Calcular a cdot b
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores é dado por:
a cdot b = |a| times |b| times cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores.
Aqui, temos:
|a| = 3, |b| = 4, theta = 60^circ
Sabemos que cos(60^circ) = 0,5. Então:
a cdot b = 3 times 4 times 0,5 = 6

Passo 3

b. Calcular (a + b)^2
Esse símbolo ao quadrado, (a + b)^2, na verdade representa o produto escalar do vetor (a + b) consigo mesmo:
(a + b) cdot (a + b)
Vamos expandir isso usando a propriedade distributiva do produto escalar:
a cdot a + 2 (a cdot b) + b cdot b
Sabemos que:
a cdot a = |a|^2 = 3^2 = 9
b cdot b = |b|^2 = 4^2 = 16
E já calculamos a cdot b = 6. Então:
(a + b)^2 = 9 + 2 times 6 + 16 = 9 + 12 + 16 = 37

Passo 4

c. Calcular (3a - 2b) cdot (a + 2b)
Vamos usar a propriedade distributiva do produto escalar novamente:
(3a - 2b) cdot (a + 2b) = 3a cdot a + 3a cdot 2b - 2b cdot a - 2b cdot 2b
Simplificando:
= 3 |a|^2 + 6 (a cdot b) - 2 (b cdot a) - 4 |b|^2
Lembrando que a cdot b = b cdot a, substituímos os valores:
= 3 times 9 + 6 times 6 - 2 times 6 - 4 times 16 = 27 + 36 - 12 - 64
Calculando:
= (27 + 36) - (12 + 64) = 63 - 76 = -13

Passo 5

d. Calcular (-2a + b) cdot (b - a)
Mais uma vez, vamos expandir usando a distributiva:
(-2a + b) cdot (b - a) = -2a cdot b + (-2a) cdot (-a) + b cdot b - b cdot a
Simplificando:
= -2 (a cdot b) + 2 |a|^2 + |b|^2 - (a cdot b)
Substituindo os valores:
= -2 times 6 + 2 times 9 + 16 - 6 = -12 + 18 + 16 - 6
Calculando:
= (-12 + 18) + (16 - 6) = 6 + 10 = 16

Resposta

a. a cdot b = 6
b. (a + b)^2 = 37
c. (3a - 2b) cdot (a + 2b) = -13
d. (-2a + b) cdot (b - a) = 16

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