Um inteiro n é dito poderoso se sempre que um primo p divide n, p^{2} também divide n. Mostre que todo número poderoso pode ser escrito como o produto de um quadrado perfeito por um cubo perfeito.

Passo 1

O enunciado define um inteiro n como poderoso se, sempre que um primo p divide n, também p^2 divide n. Queremos mostrar que todo número poderoso n pode ser escrito como produto de um quadrado perfeito por um cubo perfeito, isto é,
n = s^2\,t^3
para certos inteiros s,t. Para isso vamos usar fatoração prima de n e uma decomposição de cada expoente em combinação linear não-negativa de 2 e 3, baseando-nos no fato de \gcd(2,3)=1.

Passo 2

Como todo inteiro n admite fatoração única em primos, escrevemos
n \;=\;\prod_{p\\ \text{primo}}p^{e_p},
onde cada expoente e_p é um inteiro não-negativo. A condição de poderoso garante que, se e_p>0, então necessariamente e_p\ge2.

Passo 3

Vamos mostrar que para cada primo p com e_p>0 existe uma forma de escrever
e_p \;=\;2\,a_p \;+\;3\,b_p
com a_p,b_p\ge0. De fato, como \gcd(2,3)=1, qualquer inteiro e\ge2 pode ser escrito dessa forma. Explicitamente, seja r o resto de e_p na divisão por 3:
  • Se r=0, então e_p=3k e escolhemos a_p=0,\;b_p=k.
  • Se r=1, como e_p\ge2 e r=1 força e_p\ge4, escrevemos e_p=3k+1=3(k-1)+4 e tomamos a_p=2,\;b_p=k-1.
  • Se r=2, então e_p=3k+2 com k\ge0, e escolhemos a_p=1,\;b_p=k.
    Em todos os casos a_p,b_p são inteiros \ge0 satisfazendo e_p=2a_p+3b_p.

Passo 4

Definimos então
s \;=\;\prod_{p}p^{a_p}, \qquad t \;=\;\prod_{p}p^{b_p}.
Logo
s^2\,t^3 =\Bigl(\prod_{p}p^{a_p}\Bigr)^2\;\Bigl(\prod_{p}p^{b_p}\Bigr)^3 =\prod_{p}p^{2a_p+3b_p} =\prod_{p}p^{e_p} =n.

Resposta

Fica mostrado que todo número poderoso n pode ser escrito como
n=s^2\,t^3
para certos inteiros s e t.

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