Um inteiro
é dito poderoso se sempre que um primo
divide
também divide
. Mostre que todo número poderoso pode ser escrito como o produto de um quadrado perfeito por um cubo perfeito.
Passo 1
O enunciado define um inteiro
como poderoso se, sempre que um primo
divide
, também
divide
. Queremos mostrar que todo número poderoso
pode ser escrito como produto de um quadrado perfeito por um cubo perfeito, isto é,
para certos inteiros
. Para isso vamos usar fatoração prima de
e uma decomposição de cada expoente em combinação linear não-negativa de 2 e 3, baseando-nos no fato de
.
Passo 2
Como todo inteiro
admite fatoração única em primos, escrevemos
onde cada expoente
é um inteiro não-negativo. A condição de poderoso garante que, se
, então necessariamente
.
Passo 3
Vamos mostrar que para cada primo
com
existe uma forma de escrever
com
. De fato, como
, qualquer inteiro
pode ser escrito dessa forma. Explicitamente, seja
o resto de
na divisão por 3:
- Se
, então e escolhemos . - Se
, como e força , escrevemos e tomamos . - Se
, então com , e escolhemos .
Em todos os casossão inteiros satisfazendo .
Passo 4
Definimos então
Logo
Resposta
Fica mostrado que todo número poderoso
pode ser escrito como
para certos inteiros
e
.