Se o inteiro N representa a quantidade de voltas que o ponto w=f(z) descreve em torno da origem enquanto z percorre gamma uma vez no sentido positivd, determine N quando:
gamma é a curva z=2 e^j theta com theta in[0,2 pi] e f(z)=z^2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantas voltas, numeradas por um inteiro N, a imagem w = f(z) dá em torno da origem quando z percorre uma curva gamma uma vez no sentido positivo. O conteúdo é o conceito de índice de Curva (número de voltas ou winding number) e vamos precisar parametrizar z, aplicar a função f e analisar a variação do argumento de w.

Passo 2

Parametrizamos a curva gamma por z(theta)=2e^jtheta, com theta variando de 0 a 2pi. Substituindo em f(z)=z^2, obtemos:
w(theta)=f(z(theta))=(2e^jtheta)^2=4e^j2theta

Passo 3

A parte crucial é examinar quantas vezes o argumento de w(theta) gira. Como o argumento de 4e^j2theta é 2theta, quando theta vai de 0 a 2pi temos variação total
De

Passo 4

Cada volta completa corresponde a uma variação de 2pi. Logo,
N=4pi2pi=2

Resposta

2

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