Seja
. Esboce, para alguns valores de
, a curva tridimensional conhecida como Clelia, cujas equações são
. Observe que o caso
reduz uma Clelia a uma curva chamada Curva de Viviani.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva de Clelia definida parametricamente por
com parâmetro
Passo 2
Observe que
ou seja, a Clelia sempre vive na esfera de raio
Passo 3
Em coordenadas esféricas clássicas, um ponto se escreve
Comparando com nossas equações vemos que
Passo 4
O número de voltas em torno da esfera (quantas “ondas” no sentido polar) é dado por
. Então para cada inteiro
teremos
arcos que vão do polo norte ao polo sul e de volta. No plano azimutal, sempre damos exatamente uma volta completa.
Passo 5
Para valores inteiros de
podemos esboçar qualitativamente:
-
: exatamente uma volta em , curva de Viviani (um laço duplo no limite onde toca o cilindro de raio ). -
: dois arcos longitudinais, lembrando um “8” duplo em cada metade da esfera. -
: três arcos longitudinais, criando três “laçadas” dispostas uniformemente.
Passo 6
Sugerimos os esboços: desenhe a esfera de raio
, marque os polos. Para cada
, trace
arcos que saem do polo norte, alcançam o polo sul quando
, retornam ao norte em
. As projeções no equador formam
voltas completas.
Passo 7
Com isso entendemos que a Clelia é um enrolamento uniforme na esfera com número de espirais igual a
, e o caso
coincide com a clássica curva de Viviani.
Resposta
Para cada valor inteiro de m ≥ 1, a Clelia é uma espiral na esfera de raio a que faz exatamente m arcos longitudinais (do polo norte ao sul e de volta) enquanto dá uma volta azimutal.
• m = 1: curva de Viviani, um único laço duplo na esfera.
• m = 2: dois laços longitudinais, formando um “8” duplo.
• m = 3: três laços, e assim por diante.
• m = 2: dois laços longitudinais, formando um “8” duplo.
• m = 3: três laços, e assim por diante.
Em um esboço, basta desenhar a esfera, marcar polos e traçar m arcos intercalados ao longo do meridiano, ligados de volta ao ponto inicial quando θ atinge 2π.