Seja a>0. Esboce, para alguns valores de m, a curva tridimensional conhecida como Clelia, cujas equações são x=a sen(m theta) cos (theta) ; y=a sen(m theta) sen(theta) ; z=a cos (m theta). Observe que o caso m=1 reduz uma Clelia a uma curva chamada Curva de Viviani.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva de Clelia definida parametricamente por
x=asin(mtheta)costheta, y=asin(mtheta)sintheta, z=acos(mtheta),
com parâmetro theta variando em [0,2pi] e constante a>0. O conteúdo aqui é curva no espaço (geometria analítica em 3D) e vamos usar propriedades de coordenadas esféricas e a interpretação como interseção de superfícies para entender o formato.

Passo 2

Observe que
x^2+y^2+z^2=a^2l(sin^2(mtheta)(cos^2theta+sin^2theta)+cos^2(mtheta)r)=a^2,
ou seja, a Clelia sempre vive na esfera de raio a. Assim, é natural pensar em coordenadas esféricas, onde rho=a, ângulo polar phi=mtheta e azimutal varphi=theta.

Passo 3

Em coordenadas esféricas clássicas, um ponto se escreve
x=rhosinphicosvarphi, y=rhosinphisinvarphi, z=rhocosphi
Comparando com nossas equações vemos que rho=a, phi=mtheta e varphi=theta. Assim, enquanto theta vai de 0 a 2pi, o ponto faz m voltas em phi (do polo z=a até o polo z=-a e volta).

Passo 4

O número de voltas em torno da esfera (quantas “ondas” no sentido polar) é dado por m. Então para cada inteiro m>=1 teremos m arcos que vão do polo norte ao polo sul e de volta. No plano azimutal, sempre damos exatamente uma volta completa.

Passo 5

Para valores inteiros de m podemos esboçar qualitativamente:
  • m=1: exatamente uma volta em phi, curva de Viviani (um laço duplo no limite onde toca o cilindro de raio a/2).
  • m=2: dois arcos longitudinais, lembrando um “8” duplo em cada metade da esfera.
  • m=3: três arcos longitudinais, criando três “laçadas” dispostas uniformemente.

Passo 6

Sugerimos os esboços: desenhe a esfera de raio a, marque os polos. Para cada m, trace m arcos que saem do polo norte, alcançam o polo sul quando phi=pi, retornam ao norte em theta=2pi. As projeções no equador formam m voltas completas.

Passo 7

Com isso entendemos que a Clelia é um enrolamento uniforme na esfera com número de espirais igual a m, e o caso m=1 coincide com a clássica curva de Viviani.

Resposta

Para cada valor inteiro de m ≥ 1, a Clelia é uma espiral na esfera de raio a que faz exatamente m arcos longitudinais (do polo norte ao sul e de volta) enquanto dá uma volta azimutal.
• m = 1: curva de Viviani, um único laço duplo na esfera.
• m = 2: dois laços longitudinais, formando um “8” duplo.
• m = 3: três laços, e assim por diante.
Em um esboço, basta desenhar a esfera, marcar polos e traçar m arcos intercalados ao longo do meridiano, ligados de volta ao ponto inicial quando θ atinge 2π.

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