Seja
a decomposição canônica do inteiro positivo
. Mostre que
ou seja,
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é a decomposição em fatores primos de
, então a soma de todos os divisores positivos de
, denotada por
é dada por
O conteúdo envolvido é o caráter multiplicativo da função soma de divisores e a soma de uma progressão geométrica.
Passo 2
Primeiro observamos que qualquer divisor
de
corresponde a escolher, para cada primo
, um expoente
com
de modo que
Logo, listar todos os divisores de
equivale a percorrer todas as combinações
.
Passo 3
Dessa forma podemos escrever
Ou seja, é uma soma múltipla de termos que separam em cada primo.
Passo 4
Como a soma múltipla de um produto de fatores independentes se separa em produto de somas, temos
Passo 5
Cada soma
é uma progressão geométrica com razão
e
termos. Logo
Substituindo em cada fator, concluímos