Seja n=p1^k1 cdot p2^k2 cdot ldots cdot pm^km a decomposição canônica do inteiro positivo n>1. Mostre que
S(n)=p1^k1+1-1p1-1 cdot p2^k2+1-1p2-1 cdot ldots cdot pm^km+1-1pm-1
ou seja,
S(n)=prodi=1^m pi^ki+1-1pi-1

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se
n = p1^k1cdot p2^k2cdots pm^km
é a decomposição em fatores primos de n>1, então a soma de todos os divisores positivos de n, denotada por
S(n) = sumdmid n d,
é dada por
S(n) = p1^k1+1-1p1-1,p2^k2+1-1p2-1,cdots, pm^km+1-1pm-1 = prodi=1^mpi^ki+1-1pi-1
O conteúdo envolvido é o caráter multiplicativo da função soma de divisores e a soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

Primeiro observamos que qualquer divisor d de n corresponde a escolher, para cada primo pi, um expoente ei com
0 <= ei<= ki,
de modo que
d = p1^e1,p2^e2cdots pm^em
Logo, listar todos os divisores de n equivale a percorrer todas as combinações (e1,dots,em).

Passo 3

Dessa forma podemos escrever
S(n) = sumdmid n d = sume1=0^k1sume2=0^k2cdotssumem=0^km l(p1^e1,p2^e2cdots pm^emr)
Ou seja, é uma soma múltipla de termos que separam em cada primo.

Passo 4

Como a soma múltipla de um produto de fatores independentes se separa em produto de somas, temos
S(n) = l(sume1=0^k1p1^e1r), l(sume2=0^k2p2^e2r)cdots l(sumem=0^kmpm^emr)

Passo 5

Cada soma sumei=0^kipi^ei é uma progressão geométrica com razão pi e ki+1 termos. Logo
sumei=0^kipi^ei = pi^ki+1-1pi-1
Substituindo em cada fator, concluímos
S(n) = prodi=1^mpi^ki+1-1pi-1

Resposta

S(n) = prodi=1^mpi^ki+1-1pi-1

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