Na intenção de secar grãos de arroz em um leito de jorro com tubo interno, torna-se necessário caracterizálos em termos de massa específica, diâmetro equivalente e esfericidade. Para tanto, obteve-se uma amostra de 490 grãos, os quais apresentaram o formato de esferoide prolato, em que a média do raio menor foi de 0,970 mm , e a média do raio maior, de 4,61 mm. No sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa igual a 30,5 g que, após a adição dos 490 grãos, acusou massa de 43,5 g. Com o objetivo de obter a massa específica do arroz, utilizou-se a técnica de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50 ml e massa de 22,3 g. Ao enchê-lo com água, verificou-se que o recipiente acusou massa de 72,2 g. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que está associado ao da amostra de interesse, adicionaram-se os grãos no picnômetro, encontrando-se a massa de 74,3 g, a qual corresponde à massa do picnômetro adicionada à de água e à da amostra. Desta maneira, pede-se:
i) esfericidade do grão de arroz.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente achar a esfericidade (ψ) de um grão de arroz, que foi modelado como esferoide prolato.
Conteúdo: Geometria de sólidos e definição de esfericidade de Wadell.
O que precisamos:
  • Fórmulas de volume e área de um esferoide prolato;
  • Definição de esfericidade ψ = (área de esfera de mesmo volume)/(área da partícula).

Passo 2

Antes de sair calculando, vamos lembrar a teoria:
  1. Volume de um esferoide prolato (semi-eixos: a = raio maior, b = raio menor)
V ;=; tfrac43,pi,a,b^2
  1. Excentricidade e área superficial do esferoide prolato
e ;=;raiz1 - b^2a^2,, A ;=;2pi b^2;l(1 + ab,e,arcsin er)
  1. Esfericidade de Wadell
psi ;=;área da esfera de mesmo volumeárea da partícula ;=;pi^1/3,(6V)^2/3A ááí

Passo 3

Identificando os dados (em mm):
a = 4,61  e  b = 0,970
Calcular a excentricidade
e = raiz1 - l(tfrac0,9704,61r)^2 approx raiz1 - 0,0443 approx 0,978
Volume do esferoide
V = 43,pi,(4,61),(0,970)^2 approx 43,pi,(4,3435) approx 18,2;mm^3

Passo 4

Agora a área superficial
A = 2pi,(0,970)^2 l[1 + 4,610,970cdot0,978,arcsin(0,978)r] approx 2picdot0,941 l[1 + 4,857cdot1,366r] approx 45,2;mm^2

Passo 5

Só falta meter na fórmula da esfericidade
psi =pi^1/3,(6V)^2/3A =pi^1/3,(6cdot18,2)^2/345,2 approx33,645,2 approx0,74

Resposta

A esfericidade do grão de arroz é aproximadamente
boxedpsi approx 0,74

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