Na intenção de secar grãos de arroz em um leito de jorro com tubo interno, torna-se necessário caracterizálos em termos de massa específica, diâmetro equivalente e esfericidade. Para tanto, obteve-se uma amostra de 490 grãos, os quais apresentaram o formato de esferoide prolato, em que a média do raio menor foi de 0,970 mm , e a média do raio maior, de
. No sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa igual a 30,5 g que, após a adição dos 490 grãos, acusou massa de
. Com o objetivo de obter a massa específica do arroz, utilizou-se a técnica de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50 ml e massa de
. Ao enchê-lo com água, verificou-se que o recipiente acusou massa de
. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que está associado ao da amostra de interesse, adicionaram-se os grãos no picnômetro, encontrando-se a massa de
, a qual corresponde à massa do picnômetro adicionada à de água e à da amostra. Desta maneira, pede-se:
g) uma expressão para o diâmetro da esfera de igual superfície à do arroz, sabendo que a superfície de um esferoide prolato é
(e); sendo
; sen
, em radianos; utilizar mesmos valores de a (
) e b (
).
g) uma expressão para o diâmetro da esfera de igual superfície à do arroz, sabendo que a superfície de um esferoide prolato é
Passo 1
Beleza, o que a parte (g) está pedindo é: “ache uma expressão pro diâmetro de uma esfera que tenha a MESMA área de superfície que o nosso grão de arroz modelado por um esferoide prolato.”
Conteúdo: geometria de superfícies – usamos a fórmula da área de um esferoide prolato e a da esfera.
O que vamos precisar:
• Fórmula da área do esferoide prolato:
Conteúdo: geometria de superfícies – usamos a fórmula da área de um esferoide prolato e a da esfera.
O que vamos precisar:
• Fórmula da área do esferoide prolato:
com $$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}.$$
• Fórmula da área da esfera em função do diâmetro
:
Vamos igualar as duas áreas e isolar
Passo 2
Escrevendo a igualdade de áreas:
Agora basta isolar
Passo 3
Dividindo por
e extraindo a raiz:
Essa é a expressão geral pedida.
Passo 4
Agora, usando
cm e
cm:
-
Calcular
: -
Calcular
(em rad): -
Montar o que vai dentro da raiz:
•
•Soma interna = -
Extrair raiz:
Resposta
A expressão geral é
$$\displaystyle D ;=;\sqrt{2b^2 ;+;2\Bigl(\frac{a,b}{e}\Bigr)\sin^{-1}(e)},\quad
e=\frac{\sqrt{a2-b2}}{a}.
D\approx0{,}378\ cm\quad(ou3{,}78mm).$$