Na intenção de secar grãos de arroz em um leito de jorro com tubo interno, torna-se necessário caracterizálos em termos de massa específica, diâmetro equivalente e esfericidade. Para tanto, obteve-se uma amostra de 490 grãos, os quais apresentaram o formato de esferoide prolato, em que a média do raio menor foi de 0,970 mm , e a média do raio maior, de 4,61 mm. No sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa igual a 30,5 g que, após a adição dos 490 grãos, acusou massa de 43,5 g. Com o objetivo de obter a massa específica do arroz, utilizou-se a técnica de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50 ml e massa de 22,3 g. Ao enchê-lo com água, verificou-se que o recipiente acusou massa de 72,2 g. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que está associado ao da amostra de interesse, adicionaram-se os grãos no picnômetro, encontrando-se a massa de 74,3 g, a qual corresponde à massa do picnômetro adicionada à de água e à da amostra. Desta maneira, pede-se:
g) uma expressão para o diâmetro da esfera de igual superfície à do arroz, sabendo que a superfície de um esferoide prolato é SP=2 pi b^2+2 pi((a^* b) / e) sen^-1 (e); sendo e=((a^2-b^2)^12a); sen ^-1(e), em radianos; utilizar mesmos valores de a ( 0,461 cm ) e b ( 0,097 cm ).

Passo 1

Beleza, o que a parte (g) está pedindo é: “ache uma expressão pro diâmetro de uma esfera que tenha a MESMA área de superfície que o nosso grão de arroz modelado por um esferoide prolato.”
Conteúdo: geometria de superfícies – usamos a fórmula da área de um esferoide prolato e a da esfera.
O que vamos precisar:
• Fórmula da área do esferoide prolato:
SP ;=; 2pi b^2 ;+; 2pil(a,ber),sin^-1(e)
com $$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}.$$  
• Fórmula da área da esfera em função do diâmetro e=raiza^2-b^2a:
D
Vamos igualar as duas áreas e isolar Srm esfera=4pi r^2=4pil(tfrac D2r)^2=pi D^2.

Passo 2

Escrevendo a igualdade de áreas:
pi D^2 ;=; SP ;=; 2pi b^2 ;+;2pil(a,ber)sin^-1(e)
Agora basta isolar D dividindo ambos os lados por pi e tirando raiz quadrada.

Passo 3

Dividindo por pi e extraindo a raiz:
D ;=;raizSPpi ;=;raiz2pi b^2 + 2pil(a,ber)sin^-1(e)pi ;=;raiz2b^2 ;+;2l(a,ber)sin^-1(e)
Essa é a expressão geral pedida.

Passo 4

Agora, usando a=0,461,cm e b=0,097,cm:
  1. Calcular e:
    e=raiza^2-b^2a =raiz0,461^2-0,097^20,461 =raiz0,2125-0,00940,461 =0,45070,461approx0,9775
  2. Calcular sin^-1(e) (em rad):
    sin^-1(0,9775)approx1,3561 rad
  3. Montar o que vai dentro da raiz:
    2b^2 = 2,(0,097)^2 = 2cdot0,009409 = 0,018818
    2l(tfraca,ber)sin^-1(e) =2l(0,461cdot0,0970,9775r)times1,3561 approx2times0,04576times1,3561 approx0,12417
    Soma interna = 0,018818 + 0,12417 = 0,14299
  4. Extrair raiz:
    D=raiz0,14299approx0,3782 cm = 3,782 mm

Resposta

A expressão geral é
$$\displaystyle D ;=;\sqrt{2b^2 ;+;2\Bigl(\frac{a,b}{e}\Bigr)\sin^{-1}(e)},\quad
e=\frac{\sqrt{a2-b2}}{a}. D ;=;raiz2b^2 ;+;2l(a,ber)sin^-1(e), e=raiza^2-b^2aáD\approx0{,}378\ cm\quad(ou3{,}78mm).$$

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