Nos intens abaixo, verifique que a dada família a dois parâmetros de solução é a solução geral para a EDO dada no intervalo indicado.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede pra gente verificar se a família de soluções $ y = c_{1} x^{-1/2} + c_{2} x^{-1} $ é, de fato, a solução geral da equação diferencial $ 2x^{2} y’’ + 5x y’ + y = 0 $ no intervalo $ (0, \infty) $.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como substituir uma solução proposta em uma equação diferencial e verificar se ela satisfaz a equação. Isso envolve calcular as derivadas da solução proposta e fazer a substituição na equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial e a solução proposta. A equação é:
E a solução que foi dada é:
Aqui, $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes que podem assumir qualquer valor real.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de $ y $ em relação a $ x $.
Primeira derivada $ y’ $:
Segunda derivada $ y’’ $:
Passo 4
Com $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ calculados, vamos substituir esses valores na equação diferencial original para verificar se a igualdade se mantém.
Substituindo na equação:
Vamos substituir cada termo:
-
$ 2x^{2} y’’ = 2x^{2} \left( \frac{3}{4} c_{1} x^{-5/2} + 2 c_{2} x^{-3} \right) = \frac{3}{2} c_{1} x^{-1/2} + 4 c_{2} x^{-1} $
-
$ 5x y’ = 5x \left( -\frac{1}{2} c_{1} x^{-3/2} - c_{2} x^{-2} \right) = -\frac{5}{2} c_{1} x^{-1/2} - 5 c_{2} x^{-1} $
-
$ y = c_{1} x^{-1/2} + c_{2} x^{-1} $
Agora, somamos todos esses termos:
Vamos simplificar cada termo:
- Para $ x^{-1/2} $:
- Para $ x^{-1} $:
Então, a soma total é zero, o que confirma que a solução proposta satisfaz a equação diferencial.
Passo 5
Além disso, para termos certeza de que essa é a solução geral, precisamos verificar se as soluções $ x^{-1/2} $ e $ x^{-1} $ são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das soluções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Podemos fazer isso calculando o Wronskiano das duas soluções:
Como o Wronskiano não é zero, as soluções são linearmente independentes, confirmando que a família dada é a solução geral da equação.
Resposta
Sim, a família $ y = c_{1} x^{-1/2} + c_{2} x^{-1} $ é a solução geral da equação diferencial $ 2x^{2} y’’ + 5x y’ + y = 0 $ no intervalo $ (0, \infty) $.