Nos intens abaixo, verifique que a dada família a dois parâmetros de solução é a solução geral para a EDO dada no intervalo indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é $ y’’ - y = 0 $, e a gente quer conferir se a solução geral dada por $ y = c_{1} \sin(x) + c_{2} \cos(x) $ funciona nesse caso, dentro do intervalo $ (-\pi / 2, \pi / 2) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como encontrar soluções gerais usando equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial de segunda ordem linear: é uma equação que envolve a segunda derivada de uma função $ y $, a primeira derivada $ y’ $, e a própria função $ y $, tudo isso de forma linear. No nosso caso, a equação é $ y’’ - y = 0 $, o que significa que a segunda derivada de $ y $ menos $ y $ igual a zero.
Passo 3
Para encontrar a solução geral dessa equação, a gente usa o método das equações características. A gente assume que a solução tem a forma $ y = e^{rx} $, onde $ r $ é um número que a gente precisa descobrir. Então, vamos substituir isso na equação:
Substituindo na equação original:
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, temos que $ r^2 - 1 = 0 $. Resolvendo para $ r $:
Passo 4
Agora que temos os valores de $ r $, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como as soluções são diferentes, a solução geral é uma combinação linear delas:
onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Vamos comparar essa solução geral com a que foi dada no exercício: $ y = c_{1} \sin(x) + c_{2} \cos(x) $. A diferença está que a solução que a gente encontrou envolve funções exponenciais, enquanto a solução dada envolve funções trigonométricas.
Passo 6
Para verificar se a solução trigonométrica também resolve a equação $ y’’ - y = 0 $, vamos substituir $ y = \sin(x) $ e $ y = \cos(x) $ na equação.
Primeiro, para $ y = \sin(x) $:
Agora, para $ y = \cos(x) $:
Passo 7
Como vimos, nem $ \sin(x) $ nem $ \cos(x) $ satisfazem a equação $ y’’ - y = 0 $. Isso significa que a combinação linear $ y = c_{1} \sin(x) + c_{2} \cos(x) $ também não será uma solução válida para essa equação. Portanto, a família de soluções dada no exercício não é a solução geral correta para a equação diferencial apresentada.
Resposta
A família $ y = c_{1} \sin(x) + c_{2} \cos(x) $ não é a solução geral para a equação diferencial $ y’’ - y = 0 $ no intervalo $ (-\pi / 2, \pi / 2) $. A solução geral correta é $ y = c_1 e^{x} + c_2 e^{-x} $.