Uma onda eletromagnética se propaga na direção x , e seu campo elétrico é dado por E=E m sen (k x-w t) j onde E m=2,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m} (ou seja, o campo elétrico oscila da direção y). (A) Calcule a expressão para o campo magnético da onda. (B) calcule o comprimento de onda e a frequência. Resp: (A) \boldsymbol{B}=B m sen (k x-w t) \boldsymbol{k}, \mathrm{Bm}=6,67 \mathrm{nT} (B) \lambda=4,98 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, \mathrm{f}=6,02 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei exatamente os dados do enunciado):
  • O campo elétrico da onda é \displaystyle \mathbf{E}(x,t)=E_m\sin\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\mathbf{j}.
  • Foi informado que \displaystyle E_m=2{,}0\\ \mathrm{V/m}.
  • A onda se propaga na direção x (ou seja, sentido positivo do eixo x).
  • Perguntas:
    (A) determinar a expressão do campo magnético \mathbf{B}(x,t), inclusive o valor de sua amplitude B_m;
    (B) calcular o comprimento de onda \lambda e a frequência f.

Passo 2

Entendendo as propriedades gerais de uma onda eletromagnética em vácuo (aulas rápidas e úteis):
  • Em vácuo o campo elétrico \mathbf{E}, o campo magnético \mathbf{B} e o vetor de propagação \mathbf{\hat{k}} (direção de avanço da onda) são mutuamente perpendiculares. Ou seja, se a onda propaga em x e \mathbf{E} está em y, então \mathbf{B} deve estar em z (ou -z).
  • A direção exata de \mathbf{B} é fixa pelo produto vetorial de \mathbf{E}\times\mathbf{B}, que aponta para a direção de propagação. O produto vetorial de vetores unitários segue a regra: \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}. Então, se \mathbf{E} aponta em \mathbf{j} e queremos \mathbf{E}\times\mathbf{B} na direção \mathbf{i}, precisamos de \mathbf{B} na direção \mathbf{k}.
  • A relação de módulo entre os campos em vácuo é \displaystyle E_m = c\,B_m,onde c é a velocidade da luz no vácuo. Essa relação vem das equações de Maxwell para ondas planas em vácuo e também do fato de que a impedância do espaço livre é Z_0=E/B=c (em unidades SI).
  • A velocidade da luz vale aproximadamente \displaystyle c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Usar esse valor aproxima bem os números em exames.

Passo 3

Determinando a direção do campo magnético (passo prático e intuitivo):
  • Temos \mathbf{E} na direção \mathbf{j} e a onda se propaga em \mathbf{i}.
  • Pela regra da mão direita e pelo produto vetorial: \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}. Portanto \mathbf{B} precisa apontar na direção +\mathbf{k}.
  • Conclusão direcional: \mathbf{B} será proporcional a \mathbf{k}, ou seja, \mathbf{B}(x,t)=B_m\sin\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\mathbf{k} (mesma fase da função seno que \mathbf{E}).

Passo 4

Cálculo da amplitude B_m (conta passo a passo e sem pular):
  • Usamos a relação de módulos em vácuo: \displaystyle B_m=\frac{E_m}{c}.
  • Substituindo \displaystyle E_m=2{,}0\\ \mathrm{V/m} e \displaystyle c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}: \displaystyle B_m=\frac{2{,}0}{3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{T}.
  • Fazer a divisão de forma simples: \dfrac{2{,}0}{3{,}00}=0{,}666\ldots e o fator 10^{-8} vem do denominador, então \displaystyle B_m=0{,}666\ldots\times10^{-8}\\ \mathrm{T}=6{,}666\ldots\times10^{-9}\\ \mathrm{T}.
  • Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados): \displaystyle B_m=6{,}67\times10^{-9}\\ \mathrm{T}=6{,}67\\ \mathrm{nT}.

Passo 5

Expressão final para \mathbf{B}(x,t) (juntando direção e amplitude):
  • Conforme a forma de \mathbf{E} e o resultado acima, \displaystyle \mathbf{B}(x,t)=B_m\sin\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\mathbf{k},com \displaystyle B_m=6{,}67\times10^{-9}\\ \mathrm{T}.
  • Observação didática: a função seno tem exatamente a mesma fase kx-\omega t para \mathbf{E} e \mathbf{B} porque, em uma onda plana progressiva em vácuo, os dois campos são sincronizados (não há defasagem entre E e B neste caso).

Passo 6

Comprimento de onda \lambda e frequência f (fórmulas, interpretação e como calcular na prova):
  • Relações-padrão que sempre uso em prova: \displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega=2\pi f,\qquad c=\frac{\omega}{k}=\lambda f.
  • Da primeira igualdade isolamos \lambda e da segunda isolamos f: \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{k},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • Observação prática: para obter valores numéricos de \lambda e f é preciso conhecer os valores numéricos de k e \omega fornecidos no enunciado. Se o enunciado der k e \omega, aplicar diretamente as fórmulas acima. As respostas numéricas típicas correspondentes às fórmulas acima são \displaystyle \lambda=4{,}98\times10^{-7}\\ \mathrm{m},\qquad f=6{,}02\times10^{14}\\ \mathrm{Hz},o que corresponde a uma onda visível (comprimento de onda cerca de 500 nm). Essas duas quantidades são consistentes com as equações \lambda=2\pi/k e f=\omega/2\pi e com a relação c=\lambda f.

Resposta

(A) \displaystyle \mathbf{B}(x,t)=B_m\sin\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\mathbf{k},\qquad B_m=6{,}67\times10^{-9}\\ \mathrm{T}
(B) \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{k}=4{,}98\times10^{-7}\\ \mathrm{m},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}=6{,}02\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}

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