A interação entre dois átomos de uma molécula diatômica pode ser representada pela seguinte função de energia potencial.
U(x)=D[(ax)^12-2(ax)^6]
Onde, a e D são constantes e x é a distância interatômica. Determine uma expressão para a força da interação. Calcule a posição do ponto de equilíbrio. Determine a energia potencial do ponto de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a interação entre dois átomos numa molécula diatômica. A energia potencial dessa interação é dada por uma função matemática. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar uma expressão para a força de interação entre os átomos.
  2. Calcular a posição onde essa força é equilibrada (ponto de equilíbrio).
  3. Determinar a energia potencial nesse ponto de equilíbrio.
Para resolver isso, vamos lembrar que a força está relacionada à derivada da energia potencial em relação à distância entre os átomos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para a força de interação. Sabemos que a força $ F(x) $ está relacionada à energia potencial $ U(x) $ pela fórmula:
F(x)
Isso significa que a força é a derivada negativa da energia potencial em relação à distância $ x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função de energia potencial:
U(x) = D[(ax)^12 - 2(ax)^6]
Vamos derivar $ U(x) $ em relação a $ x $:
U(x)
Simplificando:
x
Portanto, a força é:
dUdx = D [ -12 (ax)^12 cdot ax^2 + 12 (ax)^6 cdot ax^2 ]

Passo 4

Para encontrar o ponto de equilíbrio, precisamos determinar onde a força é zero. Ou seja, resolveremos a equação:
F(x) = 0 Rightarrow 12D (a^13x^13 - a^7x^7) = 0
Simplificando:
a^13x^13 - a^7x^7 = 0
Vamos fatorar $ \frac{a{7}}{x{7}} $:
a^7x^7
Para que isso seja zero, ou $ \frac{a{7}}{x{7}} = 0 $ (o que não acontece porque $ a $ e $ x $ são positivos) ou $ \frac{a{6}}{x{6}} - 1 = 0 $. Então:
a^7x^7 (a^6x^6 - 1) = 0
Então, o ponto de equilíbrio ocorre quando $ x = a $.

Passo 5

Por fim, vamos determinar a energia potencial no ponto de equilíbrio. Substituímos $ x = a $ na função $ U(x) $:
x = a

Resposta

A força de interação é dada por:
F(x) = 12D (a^13x^13 - a^7x^7)
O ponto de equilíbrio ocorre em $ x = a $.
A energia potencial no ponto de equilíbrio é $ U(a) = -D $.

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