Com interesse de avaliar a largura interna de um entalhe usinado em um pistão, coletou-se uma amostra aleatória de 16 pistões que indicou barx=10,25 mm e s^2=0,0016. Supondo que as observações seguem o modelo Normal, construa um intervalo de 95% de confiança para a largura média mu. Justifique todas as passagens!

Passo 1

O enunciado pede pra gente montar um intervalo de confiança de 95% para a média μ da largura interna de um entalhe em pistões. A amostra tem n=16, média bar x = 10,25,mm e variância s^2=0,0016,mm². Como não conhecemos o desvio‐padrão populacional e assumimos normalidade, vamos usar o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student.

Passo 2

Teoria: quando σ é desconhecido e n é pequeno (n<30), o IC para μ é dado por
bar x pm talpha/2,,n-1;sraizn
onde
  • bar x é a média amostral,
  • s=raizs^2 é o desvio‐padrão amostral,
  • talpha/2,,n-1 é o valor crítico da t de Student com n-1 graus de liberdade para área alpha/2 em cada cauda.
Aqui queremos 95% de confiança, então alpha=0,05 e alpha/2=0,025. O grau de liberdade é n-1=15. Pela tabela de t,
t0,975,,15approx 2,131

Passo 3

  1. Calcula o desvio‐padrão amostral:
s = raiz0,0016 = 0,04;mm
  1. Erro‐padrão da média:
EP = sraizn = 0,04raiz16 = 0,04/4 = 0,01;mm
  1. Margem de erro:
E = t0,975,15,times EP = 2,131 times 0,01 = 0,02131;mm
  1. Intervalo de confiança:
10,25 pm 0,02131 Longrightarrow (10,25 - 0,02131,;10,25 + 0,02131)
approx (10,2287;mm,;10,2713;mm)

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para μ é aproximadamente (10,2287 mm, 10,2713 mm).

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