Suponha que X1, X2, ldots, Xn sejam variáveis aleatórias i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável discreta X com probabilidades dadas pela tabela abaixo
\
hline c|ccc hline$k$ & -1 & 0 & 1 hline$P(X=k)$ & 0,2 & 0,5 & 0,3 hline -1 0 1
hline mu=E[X] 0,2 0,5 0,3
hline \
Determine sigma^2=Var[X] e ;

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos i.i.d. com a mesma lei de probabilidade de uma variável discreta , que vale com probabilidade 0,2; 0 com probabilidade 0,5; e 1 com probabilidade 0,3.
Conteúdo: vamos usar Esperança (média) e Variância de variáveis discretas.
O que precisamos:
  • Definição de : .
  • Definição de : .

Passo 2

Primeiro, calculamos a esperança E[X] = sumkin-1,0,1 k,P(X=k) = (-1)cdot0.2 + 0cdot0.5 + 1cdot0.3 .
Pela definição:
(-1)cdot0.2 = -0.2, 0cdot0.5 = 0, 1cdot0.3 = 0.3,
Fazendo as contas:
E[X] = -0.2 + 0 + 0.3 = 0.1
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Passo 3

Agora, precisamos de E[X^2] = sumkin-1,0,1 k^2,P(X=k) = (-1)^2cdot0.2 + 0^2cdot0.5 + 1^2cdot0.3 .
Pela definição:
E[X^2] = 1cdot0.2 + 0cdot0.5 + 1cdot0.3 = 0.2 + 0 + 0.3 = 0.5
Note que e , então:

Passo 4

Finalmente, aplicamos a fórmula da variância:
Var(X) = E[X^2] - l(E[X]r)^2 = 0.5 - (0.1)^2
Como Var(X) = 0.5 - 0.01 = 0.49 , temos:

Resposta

mu = E[X] = 0.1, sigma^2 = Var(X) = 0.49

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