Suponha que X1, X2, ldots, Xn sejam variáveis aleatórias i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável discreta X com probabilidades dadas pela tabela abaixo
\
hline c|ccc hline$k$ & -1 & 0 & 1 hline$P(X=k)$ & 0,2 & 0,5 & 0,3 hline -1 0 1
hline barX=(sumi=1^n Xi) / n 0,2 0,5 0,3
hline \
Seja n a média amostral das X1, ldots, Xn observações n. Use o Teorema Central do Limite (TCL) para determinar o menor valor de P(|barX-mu|<2) >= 0,99 para o qual

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos P(X=-1)=0,2, P(X=0)=0,5, P(X=1)=0,3 i.i.d. com distribuição discreta dada por
bar X = 1nsumi=1^n Xi
Definem a média amostral
Pl(|bar X - mu|<2r)>= 0,99,
e querem o menor tal que
usando o Teorema Central do Limite (TCL).
Conteúdo envolvido: cálculo de esperança e variância, aplicação do TCL (aproximação normal à média amostral) e inversão da desigualdade para achar .

Passo 2

Primeiro vamos achar a média E[X] = (-1)cdot0,2 + 0cdot0,5 + 1cdot0,3 = -0,2 + 0 + 0,3 = 0,1 .
Por definição,

Passo 3

Agora a variância . Precisamos de E[X^2] = (-1)^2cdot0,2 + 0^2cdot0,5 + 1^2cdot0,3 = 1cdot0,2 + 0 + 1cdot0,3 = 0,5 :
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 0,5 - (0,1)^2 = 0,5 - 0,01 = 0,49,
Então
logo .

Passo 4

Pelo TCL, para bar X approx N!l(mu,;sigma^2nr) = N!l(0,1,;0,49nr) grande,
Pl(|bar X - mu|<2r) approx Pl(l|Zr| < 2sigma/raiz nr) = 2,Phi!l(2raiz nsigmar) - 1,
Então podemos aproximar
onde e é a CDF da normal padrão.

Passo 5

Queremos
2,Phi!l(tfrac2raiz n0,7r) - 1 ;>=; 0,99 Longrightarrow Phi!l(tfrac2raiz n0,7r) >= 0,995
Da tabela inversa da normal padrão, 2raiz n0,7 ;>=; 2,5758 Longrightarrow raiz n ;>=; 0,7cdot2,57582 = 0,90153;approx;0,902 . Logo

Passo 6

Elevando ao quadrado:
n ;>=; (0,902)^2 approx 0,8136
Como n = 1 tem que ser inteiro positivo, o menor que satisfaz é

Resposta

O menor valor de é .

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