O interior de um forno, que tem a forma de um cilindro com 75 mm de diâmetro e 150 mm de comprimento, está aberto numa das extremidades para o ambiente, que está a 27^circ C. As faces laterais e o fundo podem ser consideradas superfícies negras, que são aquecidas eletricamente e bem isoladas termicamente mantendo-se nas temperaturas de 1350 e 1650^circ C, respectivamente. Qual a potência necessária para manter, no forno, as condições mencionadas.

Passo 1

O enunciado descreve o interior de um forno em forma de cilindro com diâmetro interno de 75 mm e comprimento de 150 mm, aberto numa extremidade para o ambiente a 27^circC. As superfícies negras (paredes laterais e fundo) são mantidas eletricamente nas temperaturas de 1350^circC (lateral) e 1650^circC (fundo), sem troca de calor por condução ou convecção (isolamento perfeito). Precisamos calcular a potência elétrica P que compensa as perdas por radiação através da abertura do forno.

Passo 2

Convertemos dimensões e temperaturas para o SI:
– Diâmetro interno D=75 mm=0,075 m.
– Comprimento L=150 mm=0,150 m.
– Temperaturas em kelvin:
Tlat = 1350+273 = 1623 K, Tf = 1650+273 = 1923 K, Tinfty = 27+273 = 300 K
Áreas internas:
Alat = pi D L = pi,(0,075)(0,150)approx0,03534 m^2,
Af = pil(tfrac D2r)^2 = pi,(0,0375)^2approx0,004418 m^2
A área da abertura é igual à do fundo: Aab=Af.

Passo 3

Como são superfícies negras e isoladas entre si, a única perda líquida de energia é a radiação que escapa pela abertura para o ambiente. Num forno cônico ou cilíndrico aberto, as superfícies internas trocam radiação entre si até atingirem um “equivalente” único de temperatura Teq. O buraco (abertura) age como um corpo negro à temperatura Teq, cedendo potência
Q = sigma,Aabl(Teq^4 - Tinfty^4r),
onde sigma=5,67times10^-8 W/m^2K^4.

Passo 4

Para uma cavidade composta por superfícies negras 1 (lateral) e 2 (fundo), a temperatura equivalente satisfaz
Teq^4 ;=;Alat,Tlat^4 ;+; Af,Tf^4Alat+Af
Calculando:
Tlat^4 = (1623)^4approx6,935times10^12, Tf^4 = (1923)^4approx1,368times10^13,
Teq^4 = 0,03534cdot6,935times10^12 ;+;0,004418cdot1,368times10^130,03534+0,004418 approx7,684times10^12,
Teq = l(7,684times10^12r)^1/4approx1665 K

Passo 5

A potência perdida pela abertura é
P = Q = sigma,Aabl(Teq^4 - Tinfty^4r) approx 5,67times10^-8times0,004418;l(7,684times10^12-8,10times10^9r)
Como Tinfty^4 é pequeno comparado a Teq^4,
P approx5,67times10^-8times0,004418times7,684times10^12 approx1,92times10^3 W

Resposta

A potência elétrica necessária é aproximadamente 1,9 kW.

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