O interior humano está a 37^{\circ} \mathrm{C}, e a espessura efetiva da pele pode ser considerada 3 cm .
a) Para uma pessoa coberta da cabeça aos pés com uma vestimenta de lã de 0,5 \mathrm{~cm} de espessura, calcule o fluxo de calor perdido em Curitiba ( \mathrm{t}_{\mathrm{amb}}=-15^{\circ} \mathrm{C} ) e nas primeiras horas da manhã em São Paulo ( \mathrm{t}_{\mathrm{amb}}=2^{\circ} \mathrm{C} ).
b) Qual deve ser a espessura da vestimenta dessa pessoa em Curitiba para que ela apresente a mesma perda de calor que uma pessoa em São Paulo?
Dados:
k_{\text {pele }}=0,01 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}
Área do corpo humano médio =1,5 \mathrm{~m}^{2}
k_{\text {lana }}=0,0209 \mathrm{~W} /{ }^{\circ} \mathrm{C}
h (do corpo vestido) =9 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}

Passo 1

O enunciado trata da perda de calor de um corpo humano a T_{\rm int}=37^\circ\mathrm{C} para o ambiente a T_{\rm amb}, passando em série pela pele, pela roupa de lã e pela convecção externa. Vamos modelar isso como três resistências térmicas em série por unidade de área:
R' = \frac{d_{\rm pele}}{k_{\rm pele}} \;+\;\frac{d_{\rm lana}}{k_{\rm lana}}\;+\;\frac{1}{h}
onde d_{\rm pele}=0,03,m, k_{\rm pele}=0,01,W/mK, d_{\rm lana}=0,005,m, k_{\rm lana}=0,0209,W/mK e h=9,W/ m^{2}K. A taxa de perda de calor por área é
\frac{\dot Q}{A} = \frac{\Delta T}{R'}\,,\quad \dot Q = A\,\frac{\Delta T}{R'}\quad\text{com }A=1,5\text{ m}^2\text{ e }\Delta T=T_{\rm int}-T_{\rm amb}.

Passo 2

Calculamos primeiro R' usando d_{\rm lana}=0,005,m:
\frac{d_{\rm pele}}{k_{\rm pele}} = \frac{0,03}{0,01} = 3{,}0\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K/W}, \quad \frac{d_{\rm lana}}{k_{\rm lana}} = \frac{0,005}{0,0209}\approx0{,}239\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K/W}, \quad \frac{1}{h} = \frac{1}{9}\approx0{,}111\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K/W}.
Somando,
R' = 3{,}0 + 0{,}239 + 0{,}111 = 3{,}350\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K/W}.

Passo 3

Para T_{\rm amb}=-15^\circ\mathrm{C}, \Delta T_1=37-(-15)=52,K. Logo
\frac{\dot Q_1}{A} = \frac{52}{3{,}350}\approx15{,}52\\ \mathrm{W/m}^2, \quad \dot Q_1 = 1{,}5\times15{,}52\approx23{,}28\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Para T_{\rm amb}=2^\circ\mathrm{C}, \Delta T_2=37-2=35,K. Assim
\frac{\dot Q_2}{A} = \frac{35}{3{,}350}\approx10{,}45\\ \mathrm{W/m}^2, \quad \dot Q_2 = 1{,}5\times10{,}45\approx15{,}68\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Queremos em Curitiba ( \Delta T_1=52,K) a mesma \dot Q_2=15{,}68,W. Então
\frac{\dot Q_2}{A} = \frac{52}{R'_{\rm req}} \;\Longrightarrow\; R'_{\rm req} = \frac{52}{10{,}45}\approx4{,}975\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K/W}.
Desse total precisa sobrar para a lã
R'_{\rm lana} = R'_{\rm req} - \Bigl(\tfrac{d_{\rm pele}}{k_{\rm pele}} + \tfrac{1}{h}\Bigr) =4{,}975 - (3{,}0 + 0{,}111) =1{,}864\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K/W}.
Logo a espessura d_{\rm lana,req} é
d_{\rm lana,req} = R'_{\rm lana}\,k_{\rm lana} =1{,}864\times0{,}0209\approx0{,}039\\ \mathrm{m}\approx3{,}9\\ \mathrm{cm}.

Resposta

a) Em Curitiba T_{\rm amb}=-15^\circ\mathrm{C}: \dot Q_1\approx23{,}3,W.
Em São Paulo T_{\rm amb}=2^\circ\mathrm{C}: \dot Q_2\approx15{,}7,W.
b) Para igualar a perda de calor, a roupa em Curitiba deve ter cerca de 3{,}9,cm de lã.

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